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■283 / inTopicNo.1) 　既約分数の和
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□投稿者/ satsuma 一般人(7回)-(2005/04/29(Fri) 23:18:55)
    数列の問題で、わからないところがあったので教えてください。

    pは素数,m,nは正の整数でm<nとする。mとnの間にあってpを分母とする既約分数の和を求めよ。

    という問題です。よろしくお願いします。
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■288 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 既約分数の和
□投稿者/ ＫＧ 一般人(11回)-(2005/04/30(Sat) 05:13:15)
    ■No283に返信(satsumaさんの記事)
    まず，具体例で考えてみましょう．
    　　ｍ＝３，ｎ＝７，ｐ＝７
    だったらどうなるのか？

    　　[３]，２２/７，２３/７，…，４８/７，[７]
    を考えれば，
    　　２２/７＋２３/７＋…＋４８/７
    を「とりあえず」求めないといけません．
    これは，初項２２/７，(公差１/７，)末項４８/７，項数２７(＝４８−２２＋１)の等差数列の和です．
    ところで，今しがた「とりあえず」と言いました．
    それは，この中に既約分数でないものが入っているからです．これを除かないといけません．それは，
    　　[３]，２８/７，３５/７，４２/７，[７]
    の３つあります．
    　　２８/７＋３５/７＋４２/７＝４＋５＋６
    は，初項４，(公差１，)末項６，項数３(＝６−４＋１)の等差数列の和です．
    したがって，この場合の答は，
    　　(１/２)(４８−２２＋１)(２２/７＋４８/７)−(１/２)(６−４＋１)(４＋６)＝１２０

    では，同様にいってみます．

    　　[ｍ]，(ｍｐ＋１)/ｐ，(ｍｐ＋２)/ｐ，…，(ｎｐ−１)/ｐ，[ｎ]　…(Ａ)
    を考え，この中から，
    　　[ｍ]，(ｍ＋１)ｐ/ｐ，(ｍ＋２)ｐ/ｐ，…，(ｎ−１)ｐ/ｐ，[ｎ]　…(Ｂ)
    を除けばいいわけです．
    (Ａ)は，初項(ｍｐ＋１)/ｐ，(公差１/ｐ，)末項(ｎｐ−１)/ｐ，項数(ｎｐ−１)−(ｍｐ＋１)＋１の等差数列です．
    (Ｂ)は，初項(ｍ＋１)ｐ/ｐ，(公差１/ｐ，)末項(ｎ−１)ｐ/ｐ，項数(ｎ−１)−(ｍ＋１)＋１の等差数列です．
    すると，
    　　(１/２)(ｎｐ−ｍｐ−１)｛(ｍｐ＋１)/ｐ＋(ｎｐ−１)/ｐ｝
    　　　　　　　　　　−(１/２)(ｎ−ｍ−１)｛(ｍ＋１)＋(ｎ−１)｝
    　　　　　　＝(ｍ＋ｎ)(ｍ−ｎ)(１−ｐ)/２
    となります．
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■299 / inTopicNo.3) 　Re[2]: 既約分数の和
□投稿者/ satsuma 一般人(9回)-(2005/04/30(Sat) 21:48:39)
    教えてくださり、大変ありがとうございます。
    まず、具体的に数値で考えてみてから、文字でやるというのは私はぜんぜん思いつきませんでした。
    ですから、問題の意味も明確に捉えきれて内面があったと思います。
    ＫＧさんの説明は非常にわかりやすかったです。
    類題などもといてみて、理解を深めるようにしたいと思います。
    ありがとうございました。
解決済み!
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