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■28298 / inTopicNo.1)

　整数係数のn次方程式の有理数解に関する問題です

□投稿者/ temple 一般人(1回)-(2007/09/30(Sun) 08:29:45)

2007/09/30(Sun) 08:33:13 編集(投稿者)

整数a(k)[k＝0,1,2‥n]を係数とするxの方程式

a(o)x^n+a(1)x^(n-1)+‥+a(n-1)x+a(n)=0

において、a(0),a(n),および,a(0)+a(1)+‥a(n-1)+a(n)がすべて奇数のとき

この方程式は有理数解を持たないことを示せ。

という問いで、方程式が有理数解を持つとしてその解をx=q/p（p,qは互いに素）

として背理法で示そうとしたのですが、わかりませんでした。

教えてください。お願いします。

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■28299 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 整数係数のn次方程式の有理数解に関する問題です

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□投稿者/ らすかる大御所(877回)-(2007/09/30(Sun) 10:45:15)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

方程式にx=q/pを代入して両辺にp^nを掛けると
a[0]q^n+a[1]pq^(n-1)+…+a[n]p^n=0 … (1)
pが偶数だとa[0]q^nだけ奇数となって成り立たないので、pは奇数。
qが偶数だとa[n]p^nだけ奇数となって成り立たないので、qも奇数。
(1)の両辺にa[0]+a[1]+…+a[n]を足すと
a[0](q^n+1)+a[1](pq^(n-1)+1)+…+a[n](p^n+1)=a[0]+a[1]+…+a[n]
となるが、左辺の q^n+1, pq^(n-1)+1, …, p^n+1 は偶数なので
左辺は偶数、それに対して右辺は奇数なので矛盾。
よって有理数解は持たない。

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■28305 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 整数係数のn次方程式の有理数解に関する問題です

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□投稿者/ temple 一般人(2回)-(2007/09/30(Sun) 13:33:58)

らすかるさん、解法はわかったんですが、そういう方針は直感的にわかるものなのですか。

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■28310 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 整数係数のn次方程式の有理数解に関する問題です

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□投稿者/ らすかる大御所(878回)-(2007/09/30(Sun) 16:59:42)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

直感的に…といえばそう言えなくもないですが、どちらかというと
「論理立てて考えていたら気付いた」という感じですかね。
p,qが両方偶数になることはないので、p,qがそれぞれ奇数になるのは
式を眺めていれば気付きますよね。
（その時点では、「p,qが奇数」が役立つかどうかはわかっていませんでした）
で、その続きはどうしよう？と考えるわけですが、
問題文にある残った条件は「a[0]+a[1]+…+a[n]が奇数」なので
それをうまく使う方法を考えて「足せばよい」ことに気付いたものです。

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■28326 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 整数係数のn次方程式の有理数解に関する問題です

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□投稿者/ temple 一般人(4回)-(2007/10/01(Mon) 13:10:11)

2007/10/01(Mon) 13:10:38 編集(投稿者)

らすかるさん、教えていただきありがとうございました。

解決済み!

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