 | この数列は、ニュートン法を用いた、方程式 f(x) = 0 の解の近似列です。
まず x > 0 のとき、f(x) は下に凸なので、ニュートン法の近似列の構成手順
より、任意の n に対して A[n] > 2^(1/3) > 1/10 となることが分かります。
したがって
A[n] - 2^(1/3) < 1/10
⇔ (A[n] - 1/10)^3 < 2
となります。実際、
A[1] = 2
A[2] = 3/2
A[3] = 35/27
なので
(A[1] - 1/10)^3 = (19/10)^3 > (15/10)^3 = 27/8 > 2
(A[2] - 1/10)^3 = (28/20)^3 = (7/5)^3 = 343/125 > 2
(A[3] - 1/10)^3 = (323/270)^3 < (330/270)^3 = 1331/729 < 2
より n = 3 のとき、初めて |A[n] - 2^(1/3)| < 1/10 となります。計算は
ちょっと面倒ですね。
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