 | 2007/09/29(Sat) 17:19:29 編集(投稿者)
横から失礼します。
直接計算すると以下のようになります。
（但し、らすかるさんの仰るとおりかなり面倒です。）
nx=t
と置くことにより
∫{0,π}x|sin(nx)|dx
=(1/n^2)∫{0,nπ}t|sint|dt (A)
ここで
(k-1)π≦t≦kπ(k=1,...,n)のとき
|sint|={(-1)^(k-1)}sint
と表すことができることから(A)は
∫{0,π}x|sin(nx)|dx
=(1/n^2)∑[k=1～n]{(-1)^(k-1)}∫{(k-1)π,kπ}tsintdt (A)'
更に
∫{(k-1)π,kπ}tsintdt=[-tcost]{(k-1)π,kπ}+∫{(k-1)π,kπ}costdt
={(k-1)π}cos{(k-1)π}-kπcos(kπ) (∵)sin{(k-1)π}=sin(kπ)=0
={(k-1)π}(-1)^(k-1)-kπ(-1)^k
={(k-1)π}(-1)^(k-1)+kπ(-1)^(k-1)
={(2k-1)π}(-1)^(k-1) (B)
(A)'(B)から
∫{0,π}x|sin(nx)|dx
=(1/n^2)∑[k=1～n](2k-1)π
=(1/n^2){2・(1/2)n(n+1)-n}π
=π
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