 | 2007/09/27(Thu) 23:36:13 編集(投稿者)
直線 l 上の点 P:(x, mx) と曲線 C 上の点 Q:(x, mx + sin(x)) をとり、点 Q
から直線 l へ下ろした垂線の足を R と置きます。三角形 PQR について、辺の比
が PQ : QR : RP = √(m^2 + 1) : 1 : m であり、PQ = sin(x) に注意すれば
QR = sin(x)/√(m^2 + 1)
RP = m sin(x)/√(m^2 + 1)
となります。また、原点 O から点 P までの距離は OP = x√(m^2 + 1) なので
h = OR = { (m^2 + 1) x + m sin(x) } / √(m^2 + 1)
r = QR = sin(x)/√(m^2 + 1)
が得られます。今、dh = { √(m^2 + 1) + m/√(m^2 + 1) cos(x) } dx であり、
x: 0 → π のとき h: 0 → π√(m^2 + 1) なので、体積は
V(m) = ∫[0→π√(m^2+1)] π r^2 dh
によって求められます。
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