数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 軌跡 / Page: 0]

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■28224 / inTopicNo.1)

　軌跡

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□投稿者/ ゆう一般人(6回)-(2007/09/26(Wed) 17:19:24)

円：x^2＋y^2=4と直線y=kx＋4が異なる2点P,Qで交わっている。
(1)kの値の範囲を求めよ。
(2)線分PQの中点Mの軌跡を求めよ。

よろしくお願いします。

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■28225 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 軌跡

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□投稿者/ r@PCLabo 一般人(25回)-(2007/09/26(Wed) 17:21:33)
http://blog.livedoor.jp/r_risd/

(1) 連立させて、その解が2つあることを判別式>0とします。

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■28226 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 軌跡

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□投稿者/ X 一般人(43回)-(2007/09/26(Wed) 18:38:41)

(1)の別解
円
x^2＋y^2=4
の中心である原点と
直線
y=kx+4
との間の距離が円の半径である2より小さいことを使います。

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■28230 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 軌跡

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□投稿者/ ゆう一般人(7回)-(2007/09/26(Wed) 19:47:23)

(2)はどう解けばいいですか？

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■28242 / inTopicNo.5)

　Re[2]: 軌跡

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□投稿者/ ウルトラマン大御所(315回)-(2007/09/27(Thu) 16:18:28)

ゆうさん，こんばんわ．

> (2)はどう解けばいいですか？

$2$x^{2}+y^{2}=1$ ……①と $2$y=kx+4$ ……②より， $2$y$ を消去して，
$2$ x^{2}+(kx+4)^{2}=1 \\ \Longleftrightarrow x^{2}+k^{2}x^{2}+8kx+16=1$
$2$\Longleftrightarrow (k^{2}+1)x^{2}+8kx+15=0$ ……③
③の $2$2$ 解を $2$\alpha,\beta$ とすると，解と係数の関係より，
$2$\displaystyle \alpha+\beta = -\frac{8k}{k^{2}+1},\quad \alpha\beta=\frac{15}{k^{2}+1}$ ……④
④の下で， $2$M(X,Y)$ とすると，
$2$X=\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{4k}{k^{2}+1}$ ……⑦
$2$Y=kX+4$ ……⑧
よって，「⑦⑧を満たす実数 $2$k$ が存在する」（★）ような点 $2$(X,Y)$ の集合を求めればよい．すると，
（ⅰ） $2$X=0$ のとき， $2$Y=4$ が必要．このとき⑦で $2$k=0$ とすればよいので， $2$(X,Y)=(0,4)$ は軌跡上の点である．
（ⅱ） $2$X\ne 0$ のとき，
⑧ $2$\Longleftrightarrow \displaystyle k = \frac{Y-4}{X}$ ……⑨だから，（★）の条件は⑨が⑦つまり， $2$X(k^{2}+1)=4k$ を満たすことで，
$2$ X\left\{\left(\frac{Y-4}{X}\right)^{2}+1\right\}=\frac{4(Y-4)}{X} \\ \Longleftrightarrow X\left\{\frac{(Y-4)^{2}+X^{2}}{X^{2}\right\}=\frac{4(Y-4)}{X} \\ \Longleftrightarrow \frac{(Y-4)^{2}+X^{2}}{X} = \frac{4(Y-4)}{X} \\ \Longleftrightarrow (Y-4)^{2}+X^{2}=4(Y-4),\quad X\ne 0$
……以下略……
ってな感じで解いてみてください．

ただし，(1)から $2$k$ の範囲に制限がつくので，その $2$k$ の不等式の部分に⑨を代入して， $2$(X,Y)$ についての軌跡の限界を求める必要があるので，注意してください．

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