数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 存在領域 / Page: 0]

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■28182 / inTopicNo.1)

　存在領域

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□投稿者/ kame 一般人(1回)-(2007/09/24(Mon) 22:25:08)

この問題の解き方を教えてください。

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■28184 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 存在領域

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□投稿者/ satsuma 一般人(6回)-(2007/09/24(Mon) 23:32:23)

2007/09/25(Tue) 00:03:20 編集(投稿者)

すごい問題ですね。x,yの範囲と、X,Yの範囲の両方で対称性が崩れています。
どうやるのがベストかはわかりませんが、
こういう問題は、とても原始的な方法ですと、
x,yの連立方程式と見て、x,yについてとき、そこから、
X,Yは実数だから、ルートの中が０以上、だということや、0≦x≦1に
放りこんで計算していけば、なんとかなるのですが、
この問題だと、2xy=Xでありますので、x≠0のとき、y=X/2xですから、
$2$Y=x^2-y^2$ の式にいれると、４次関数になって、厳しいです。
まぁこの問題だと、 $2$4x^4-4Yx^2-X^2=0$ となるので、x^2の２次方程式と見て、
解いていくことは可能といば可能なのですが。

そこで、問題文には、Yに絶対値がついていますから、Yに絶対値をつけてみますと、
$2$|Y|=|x^2-y^2|$ となり、
xとyを入れ替えても同じ式になっています。つまり、絶対値をつけることで、
対称性を見出すことができたと考えられると思います。
したがって、(s,t)という点と(t,s)という点は|Y|,Xで考えるのであれば、
同じところにうつることになります。
つまり、y=xについて対称な位置にある点は同じ点に写るのです。
したがって、添付した範囲の赤色の部分
（添付ファイルでは、y=xの上側の部分にしましたが、下側の部分でやっても結構です。）
の点がどこに写るのかをまず考えます。
すると、原点Oからy=xに沿って(1,1)へ、y=1に沿って(0,1)へ、そしてx=0に沿って原点へ戻るのですから、
移る点も１周して元に戻ってきます。
そして、囲まれた部分がX,Yの存在範囲です。
答えは、私の計算ミスがなければ、
$2$|Y|\leq 1-X^2/4$
になると思います。面積は式が分かれば出ると思います。

～具体的に式で表すと～

$2$y=x$ 上の点 $2$(t,t) (0\leq t\leq 1)$ は
　 $2$X=2t^{2}$
　 $2$Y=t^{2}-t^{2}=0$
に写る。 $2$0\leq t\leq 1$ より、 $2$Y=0$ ( $2$0\leq X\leq 2$ )
$2$y=1$ ( $2$0\leq x\leq 1$ )上の点 $2$(t,1) (0\leq t\leq 1)$ は
　 $2$X=2t$
　 $2$Y=t^{2}-1$
に写る。 $2$t=\displaystyle \frac{X}{2}$ より、 $2$Y=\displaystyle \frac{X^{2}}{4}-1$
$2$x=0(0\leq y\leq 1)$ 上の点 $2$(0,t) (0\leq t\leq 1)$ は
　 $2$X=0$
　 $2$Y=-t^{2}$
に写る。 $2$0\leq t\leq 1$ より、 $2$X=0(-1\leq Y\leq 0)$

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■28186 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 存在領域

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□投稿者/ kame 一般人(2回)-(2007/09/25(Tue) 00:14:27)

図を用いたご説明、どうもありがとうございました。もう一度じっくり考えてみます。

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■28309 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 存在領域

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□投稿者/ ウルトラマン大御所(317回)-(2007/09/30(Sun) 16:16:34)

kameさん，こんばんわ．

この問題の場合は， $2$0\leq x\leq 1,0\leq y\leq 1$ という条件によって，
$2$ X = 2xy \\ \Longleftrightarrow X^{2}=4x^{2}y^{2},\quad X\geq 0 \\ \displaystyle \Longleftrightarrow x^{2}\cdot(-y^{2})=-\frac{X^{2}}{4},\quad X\geq 0$
と同値変形できますので，
$2$ \left\{ \begin{array}{l} X\geq 0 x^{2}\cdot(-y^{2})=-X^{2}/4 \\ x^{2}+(-y^{2})=Y \end{array} \right.$
を満たす実数の組 $2$x\in(0\leq x\leq 1),\quad y\in(0\leq y\leq 1)$ が存在するような点 $2$(X,Y)$ の集合を求めればよいことになります．

問題を見やすくするため， $2$x^{2}=u,\quad -y^{2}=v$ とおくと，
$2$ \left\{ \begin{array}{l} X\geq 0 uv = -X^{2}/4 \\ u+v = Y \\ 0\leq u\leq 1,\quad -1\leq v\leq 0 \end{array} \right.$
を満たす実数の組 $2$(u,v)$ が存在する（☆）ような点 $2$(X,Y)$ の集合を求めればよいと考えるといいかもしれません．すると， $2$u,v$ は $2$t$ についての $2$2$ 次方程式：
$2$ f(t)\equiv t^{2}-Yt-\frac{X^{2}}{4}=0$
の $2$2$ 解ですから，
（☆）
$2$\Longleftrightarrow$ 「 $2$f(t)=0$ の $2$2$ 解が $2$-1\leq t\leq 0,0\leq t\leq 1$ を満たす」
$2$ \Longleftrightarrow X\geq 0, f(1)\geq 0,f(-1)\geq 0, f(0)\leq 0 \\ \Longleftrightarrow X\geq 0, 1-Y-\frac{X^{2}}{4}\geq 0, 1+Y-\frac{X^{2}}{4}\geq 0,-\frac{X^{2}}{4}\leq 0 \\ \Longleftrightarrow X\geq 0, -1+\frac{X^{2}}{4}\leq Y \leq 1-\frac{X^{2}}{4} \\ \Longleftrightarrow X\geq 0, |Y|\leq 1-\frac{X^{2}}{4}$
あとは，この不等式を満たす領域を図示して，その面積を求めればよいかと思います．

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