数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 不等式の証明 / Page: 0]

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■28122 / inTopicNo.1)

　不等式の証明

□投稿者/ ビーリー一般人(1回)-(2007/09/22(Sat) 21:27:57)

３つの実数a,b,cがa＋b＋c＝１を満たす時、a^2＋b^2＋c^2≧1/3であることを示せ
　　　
という問題なんですが、a＝１－b－cとして（左辺）－（右辺）・・としようとしたんですが、うまくいきません。どういう風にやっていけばいいのか、教えてください。お願いします。

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■28124 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 不等式の証明

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□投稿者/ だるまにおん大御所(382回)-(2007/09/22(Sat) 21:54:17)

a^2+b^2+c^2≧(a+b+c)^2/3を示しましょう。

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■28125 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 不等式の証明

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□投稿者/ らすかる大御所(865回)-(2007/09/22(Sat) 22:02:17)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

a=1-b-c を代入して (左辺)-(右辺) とすると
(1-b-c)^2+b^2+c^2-1/3
=2b^2+2c^2+2bc-2b-2c+2/3
=(12b^2+12c^2+12bc-12b-12c+4)/6
={(3b+3c-2)^2+3(b-c)^2}/6
≧0

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■28142 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 不等式の証明

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□投稿者/ ビーリー一般人(2回)-(2007/09/23(Sun) 18:33:22)

おおっ
うまくいきました！ありがとうございます！

解決済み!

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■28253 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 不等式の証明

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□投稿者/ ビーリー一般人(3回)-(2007/09/28(Fri) 09:18:16)

すみません　今度はこの不等式を「コーシーとシュワルツ」を使って証明しろといわれてしまいました。でもコーシーとシュワルツ自体まったく理解できません。
どなたかお助けください。（涙）

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■28255 / inTopicNo.6)

　Re[4]: 不等式の証明

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□投稿者/ X 一般人(44回)-(2007/09/28(Fri) 10:44:47)

a,b,c,d,e,fが実数のとき
(a^2+b^2+c^2)(d^2+e^2+e^2)≧(ad+be+cf)^2
(等号成立はa:b:c=d:e:fのとき)
これをコーシ・シュワルツの不等式(変数が6個の場合)
といいます。

図形的には
↑x=(a,b,c),↑y=(d,e,f)
としたとき
{|↑x|↑y|}^2≧(↑x・↑y)^2
(等号成立は↑x//↑yのとき)
であることを意味しています(ベクトルを学習していなければ無視して下さい)。

でこの問題ですが、コーシ・シュワルツの不等式を使うと
(1^2+1^2+1^2)(a^2+b^2+c^2)≧(1・a+1・b+1・c)^2
(等号成立はa:b:c=1:1:1、つまりa=b=cのとき)
∴3(a^2+b^2+c^2)≧(a+b+c)^2
∴a^2+b^2+c^2≧(1/3)(a+b+c)^2=1/3
(等号成立はa=b=c=1/3のとき)

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