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■28111 / inTopicNo.1) 　行列
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□投稿者/ 雄大 一般人(1回)-(2007/09/22(Sat) 00:41:47)
    行列Ａ((a,b)(c,d))がA^3-aA^2=E,ad-bc=1を満たすときA^(-1)および
    A^n(n=1,2,…）をbで表せ。但しＥは単位行列である。

    A^(-1)=1/(ad-bc)*((d,-b),(-c,a))は分かるのですがA^nが分かりません。教えてください。
    表記が分かりにくくてすみません。
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■28112 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 行列
□投稿者/ 七 一般人(3回)-(2007/09/22(Sat) 01:27:57)
    A^3-aA^2=E ならば
    A(A^2−aA)＝E
    (A^2−aA)A＝E ですから
    A^2−aA がAの逆行列です。
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■28132 / inTopicNo.3) 　Re[1]: 行列
□投稿者/ 七 一般人(4回)-(2007/09/23(Sun) 01:36:46)
    反応がないので，書いておきます。もっと簡単な方法があるかも知れませんが…

    ad−bc＝1 より
    A^(−1)＝1/(ad−bc)*((d，−b)(−c，a))＝((d，−b)(−c，a)) … (1)
    A^3−aA^2＝E より
    A^(−1)＝A^2−aA
    ケーリー･ハミルトンの公式より
    A^2＝(a＋d)A−(ad−bc)E だから
    A^(−1)＝A^2−aA＝(a＋d)A−(ad−bc)E−aA
    ＝dA−E＝((ad−1，bd)(cd，d^2−1)) … (2)
    (1)(2)より
    d＝ad−1，−b＝bd，−c＝cd，a＝d^2−1
    したがって d＝−1，a＝0
    ad−bc＝1 に代入して −bc＝1 ，c＝−1/b
    よって A^(−1)＝((−1，−b)(1/b，0))

    したがって A＝((0，b)(−1/b，−1))
    A^2＝A^(−1)＝((−1，−b)(1/b，0))
    A^3＝E
    よって，kを自然数として
    n＝3k のとき
    A^n＝E
    n＝3k−1 のとき
    A^n＝A^2＝((−1，−b)(1/b，0))
    n＝3k−2 のとき
    A^n＝A＝((0，b)(−1/b，−1))
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