数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 楕円の接線 / Page: 0]

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■28097 / inTopicNo.1)

　楕円の接線

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□投稿者/ やまとも軍団(129回)-(2007/09/21(Fri) 10:26:47)

曲線x^2+4y^2ｰ2xｰ16y+13=0に原点から引いた2本の接線は直交することを証明せよ。

お願いします。

(携帯)

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■28098 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 楕円の接線

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□投稿者/ X 一般人(32回)-(2007/09/21(Fri) 11:48:56)

x^2+4y^2-2x-16y+13=0
より
{(x-1)/2}^2+(y-2)^2=1 (A)
これは楕円の方程式ですので(A)上の点(a,b)における接線の方程式は
(a-1)(x-1)/4+(b-2)(y-2)=1
これが原点(0,0)を通るので
-(a-1)/4-2(b-2)=1 (C)
又、点(a,b)に対し
{(a-1)/2}^2+(b-2)^2=1 (D)
(C)(D)を連立して解き、問題の接線の接点の座標(2箇所あります)をまず求めます。
後は直線の垂直条件を確かめるか、位置ベクトルの内積が0になるのを確かめるかして下さい。

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■28099 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 楕円の接線

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□投稿者/ gaku 一般人(32回)-(2007/09/21(Fri) 12:08:40)

追加
接点の座標はややこしい数が出るので，求めないで解と係数の関係で
避ける方法もあり。

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■28100 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 楕円の接線

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□投稿者/ らすかる大御所(861回)-(2007/09/21(Fri) 14:12:46)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

別解
y=ax を曲線の方程式に代入して整理すると (4a^2+1)x^2-(16a+2)x+13=0
y=ax が接線であるためには、判別式 D=(16a+2)^2-4・(4a^2+1)・13=0
整理して 3a^2+4a-3=0
この2解の積は -3/3=-1 なので、2接線は直交する。

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■28110 / inTopicNo.5)

　Re[2]: 楕円の接線

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□投稿者/ やまとも軍団(130回)-(2007/09/22(Sat) 00:34:41)

2007/09/22(Sat) 00:35:28 編集(投稿者)
2007/09/22(Sat) 00:35:20 編集(投稿者)

無事解決しました。3通り全てで試してみました。
どうもありがとうございました。

解決済み!

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