 | 空間ベクトルですね。図なしですがうまく伝わるか。
点P(a,b,c)とする。
↑OP=↑OA＋α↑AB+β↑AC は何を意味するか。
OからPへ行く道筋を考えると，Pは↑OAに乗っかって点Aに行きます。そこから
α↑AB+β↑ACで移動するのですが，
平面ベクトルで習った考え方を使います。
平行でも0ベクトルでもない2つのベクトル↑a，↑bを使えば，平面上のすべてのベクトルをm↑a+n↑bという1通りの表し方ができる。
これと同じことで，α，βがどんな値でもAからα↑AB+β↑ACで移動すれば平面ABC
上のどこかにPは来るということです。
Oを頂点にする三角すいO-ABCをかいてみればわかりますが，|↑OP|が最小になるときってちょうどOPが三角すいの高さ(OP⊥平面ABC)のような状態のときです。
ここからが内積
↑OP=(a,b,c)は↑AB=(4,5,6)，↑AC=(1,1,1)にともに垂直だから，
4a+5b+6c=0
a+b+c=0
未知数3個で式が2個では値はわかりませんが，比なら出せます。
aを消去してb=-2c，bを消去してa=c
よって，↑OP=(c,-2c,c)となる。
これを初めの式に当てはめると
(c,-2c,c)=(6,2,4)+α(4,5,6)+β(1,1,1)
今度は未知数3個でも式が3個作れますからc，α，βがわかります。
こちらの計算では，c=1，α=1，β=-9となりました。
↑OP=(1,-2,1)より，|↑OP|=√6
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