 | ■No280に返信(ぱこたかさんの記事)
> 教えていただければ幸いです。
> abは実数とする。無限級数∑ｋ＝１～ｎ(a＾ｎ－ｂ＾ｎ)が収束する時、点（a・ｂ）の存在範囲を求めよ。
無限級数Σ[k=1,n]c[k] が収束するとき，必ず lim[n→∞]c[n]=0 とならなければなりません。よって，lim[n→∞](a^n-b^n)=0 ということがわかります。
|a|>|b| と仮定します。a^n-b^n=a^n(1-(b/a)^n) と変形してみます。
(b/a)^n は |b/a|<1 より 0 に収束しますから，1-(b/a)^n は 1 に収束します。
|a|>1 のときは a^n は発散，|a|<1 のときは a^n は 0 に収束，a=1 のときは収束しますが 0 にはなりません。a=-1 のときは振動してしまい，収束しません。
よって 1>|a|>|b| というのが候補になります。このとき無限級数が本当に収束していることを確認しなければなりません。
|a|<|b| と仮定したときは，上の議論で a と b の役割を交換すれば 1>|b|>|a| のみが候補になることがわかります。
|a|=|b| のときは，|a|>1, |a|=1, |a|<1 の3通りと，その各々に対して a=b か，a=-b かで場合分けします。
a=b=0 のとき無限級数が収束することはすぐにわかりますので，a≠0, b≠0 のときのみ考えればよいです。よって上の議論と同様に，a^n-b^n=a^n(1-(b/a)^n) と変形すると，場合分けの議論がやややり易いかと思います。
もう少し賢いやり方があるのかもしれませんが，答えに確実にたどり着ける方法としては，ここで述べたような方法があります。ご参考まで。
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