数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 積分の方向（急いでいるのでもう1度質問します） / Page: 0]

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■27907 / inTopicNo.1)

　積分の方向（急いでいるのでもう1度質問します）

□投稿者/ ナオ一般人(5回)-(2007/09/13(Thu) 10:09:01)

ｙ＝ｘ＾2とｙ＝5ｘ+5に囲まれた部分をｙ＝5ｘ+5を軸として回転させたときにできる立体の体積（ハート型みたいなもの）を求めるとき、ｙ＝5ｘ+5上に動点Pをとり、ｙ＝5ｘ+5と直交する直線がｙ＝ｘ＾2と接するときのｙ＝5ｘ+5上の点をQとして、QP＝ｈとして、∫S1(ｘ)ｄｈ-∫S2(ｘ)ｄｈ（左下の凹みをあとから取り除く）で解きたいのですが、積分区間は、∫S1(ｘ)ｄｈ、∫S2(ｘ)ｄｈ共にｙ＝5ｘ+5上のQP＝ｈが左下から右上でいいのですか？

積分の方向を知る方法があったら教えてください。
（面積∫ｆ（ｘ）ｄｘならｘ軸の正方向というのが方向です）

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■27908 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 積分の方向（急いでいるのでもう1度質問します）

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□投稿者/ X 一般人(16回)-(2007/09/13(Thu) 10:47:40)

まず、はじめに断っておきますが、積分の向きは「決められたもの」ではなく
「定義するもの」
だということです。
言い換えれば、定義したhの値が基準点(この場合は点Qを取っていますね)から見て増加する向きを正の向きというだけで、それが左下から右上になるか、その逆になるかの違いだけです。
従って今回のナオさんの方針であれば、仰るとおり左下から右上が正の向きと言うことになります。

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■28212 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 積分の方向（急いでいるのでもう1度質問します）

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□投稿者/ nikumaru ＠一般人(6回)-(2007/09/26(Wed) 01:04:04)

かなり面倒な問題みたいです．最後まで答を出せずにいますので完全な返事になりませんが，以下参考にしてみてください．
①　まず， $2$y$ 軸方向に $2$-5$ 平行移動して， $2$y=x^2 -5$ と $2$y=5x$ で考える．
②　直線 $2$y=5x$ を新X軸， $2$y=-\frac{1}{5} x$ を新Y軸．原点はそのまま．
③　直線 $2$y=5x$ と $2$y=x^2 -5$ の交点をA，B(B<A)．X軸上の点Pを通りX軸に直交する直線と $2$y=x^2 -5$ の交点をRとすると，体積は $2$V=\pi \displaystyle\int_{Q}^{A} PR^2 dX -\pi \displaystyle\int_{Q}^{B} PR^2 dX = \pi \displaystyle\int_{B}^{A} PR^2 dX$ ．お考えの通りの式を作成できます．しかし，この後の計算がかなり複雑な方法しか浮かばず，お助けできません．お恥ずかしい限りですが，OP $2$=h$ ，R $2$(t,t^2 -5)$ とおくと， $2$h = \frac{5t^2 +t -25}{\sqrt{26}}$ で， $2$dh = \frac{10t + 1}{\sqrt{26}}dt$ ． $2$PR^2 = \frac{(t^2 - 5t -5)^2}{26}$ ．これ以降の積分で $2$\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^2 (x - \beta)^2 (x- \gamma) dx$ が発生します！この処理がわかりません．ここまで努力しました．すいません，中途半端で時間あればまた挑戦します．

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