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Re[1]: 数学的帰納法
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□投稿者/ ウルトラマン 大御所(313回)-(2007/09/12(Wed) 02:21:33)
 | 高①生ですさん，こんばんわ．
> もうひとつお願いします。
>
> nが2以上の自然数のとき、xの多項式x^n-nx+(n-1)は(x-1)^2で割り切れることを、数学的帰納法によって証明せよ。
>
>
[Ⅰ] のとき，^{2}) より，題意は成立します．
[Ⅱ] のとき，題意の成立を仮定します．すると，) を整式として，
=(x-1)^{2}Q(x)%20%5c%5c
%5ctherefore%20x^{k}=kx+(k-1)+(x-1)^{2}Q(x)
)
と書けるから，
x+k%20%5c%5c
=x^{k}%5ccdot%20x%20-(k+1)x+k%20%5c%5c
=x%5cleft%5c{kx+(k-1)+(x-1)^{2}Q(x)%5cright%5c}-(k+1)x+k%20%5c%5c
=kx^{2}+(k-1)x+x(x-1)^{2}Q(x)-(k+1)x+k%20%5c%5c
=x(x-1)^{2}Q(x)+kx^{2}-2kx+k%20%5c%5c
=x(x-1)^{2}Q(x)+k(x^{2}-2x+1)%20%5c%5c
=x(x-1)^{2}Q(x)+k(x-1)^{2}%20%5c%5c
=(x-1)^{2}%5cleft%5c{xQ(x)+k%5cright%5c}
)
となり，これは のとき，題意が成立することを示しています．
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