数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 数学的帰納法 / Page: 0]

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■27878 / inTopicNo.1)

　数学的帰納法

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□投稿者/ 高①生です一般人(3回)-(2007/09/11(Tue) 22:45:43)

nは自然数とする。2n^3-3n^2+nは6の倍数であることを、数学的帰納法によって証明せよ。

どなたか頼みます。。。

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■27883 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 数学的帰納法

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□投稿者/ gaku 一般人(21回)-(2007/09/11(Tue) 23:37:41)

■No27878に返信(高①生ですさんの記事)
> nは自然数とする。2n^3-3n^2+nは6の倍数であることを、数学的帰納法によって証明せよ。
>
> どなたか頼みます。。。
>
(1)n=1のとき，2-3+1=0だから，6の倍数

(2)n=kのとき，2k^3-3k^2+kが6の倍数とする。つまり，2k^3-3k^2+k=6m(mは整数)
と表されると仮定する。

(3)n=k+1のとき
2(k+1)^3-3(k+1)^2+k+1=2(k^3+3k^2+3k+1)-3(k^2+2k+1)+k+1
=(2k^3-3k^2+k)+6k^2
=6m+6k^2
=6(m+k^2)
だから，6の倍数

(1)(2)(3)より，すべての自然数で2n^3-3n^2+nは6の倍数

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■27885 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 数学的帰納法

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□投稿者/ Gr 一般人(2回)-(2007/09/11(Tue) 23:57:54)

2007/09/12(Wed) 00:12:52 編集(投稿者)
2007/09/12(Wed) 00:08:09 編集(投稿者)

■No27878に返信(高①生ですさんの記事)
> nは自然数とする。2n^3-3n^2+nは6の倍数であることを、数学的帰納法に
よらず証明せよ。（参考のため）

2*n^3 - 3*n^2 + n=(1/6 - n/2 + n^2/3)*(6*n)

=(1/6*(-1 + n)*(-1 + 2*n))*(6*n)

( 此処に(1/6*(-1 + n)*(-1 + 2*n))∈Z )

　　　　　　　　補足；
Sum[(k - 1)^2, {k, 1, n}]=1/6*(-1 + n)*n*(-1 + 2*n)

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■27888 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 数学的帰納法

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□投稿者/ 豆一般人(26回)-(2007/09/12(Wed) 10:14:21)

連続3整数の積は6の倍数になる
なぜならば、その中に必ず2の倍数と3の倍数を含む

2n^3-3n^2+n=n(2n^2-3n+1)
=n(2n-1)(n-1)=n(n+1+n-2)(n-1)
=(n-1)n(n+1)+(n-2)(n-1)n

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