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■27830 / inTopicNo.1) 　平面図形
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□投稿者/ もりや 一般人(1回)-(2007/09/09(Sun) 18:13:06)
    AB=ACの二等辺三角形ABCにAD：DB＝3：1、AE:EC=1：2となるように点D,Eをとる。
    また、AからBCに下ろした垂線の足をF、DEとAFの交点をG、DEの延長線とBCの延長線の交わる点をHとする。
    このとき、1.AG:GF、2.HD:DE、3.DG：GE、4.HB：BCを求めよ。
    （まだメネラウスの定理は習っていないので、補助線でお願いします。）

    図形は上と同じで、AD：DB＝4：1、AG:GF＝1：1のとき、AE:ECを求めよ。


    問題が長いのですが、どうか、お願いします。
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■27840 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 平面図形
□投稿者/ tombi 一般人(3回)-(2007/09/10(Mon) 04:23:34)
    ●中学までの相似と平行線の比を使ってます。(もう少し楽にできそうですが・・・)
    補助線は、DEと平行な直線を２本考えてみます
    　Bを通る直線(AH，ACとの交点をP，Q)
    　Fを通る直線(ACとの交点をR)
    隠れた条件を明らかにしておきます
    　BF：FC＝1：1(AFは二等三角形の頂点から下ろした垂線)　　
    解くときに必要な比を求めます　　
    　DE//BQ　より、AE：EQ＝AD：DB＝3：1
    　FR//BQ，より、QR：RC＝BF：FC＝1：1
    　　さらに、AE：EC＝1：2　であることから
    　AQ：QC＝4/3：5/3＝4：5　となり
    　　AE：EQ：QR：RC＝6：2：5：5
    ここから
    (1)AG：GF＝AE：ER＝6：7
    (2)HD＝HE−DE＝(6/5)BQ−(3/4)BQ＝(9/20)BQ　で、
    　　HD：DE＝(9/20)：(3/4)＝9：15＝3：5
    (3)BP＝BQ−PQ＝(2)FR−(8/13)FR＝(18/13)FR　で
    　　BP：PQ＝(18/13)：(8/13)＝18：8＝9：4　から
    　DG：GE＝(3/4)BP：(3/4)PQ　で
    　　DG：GE＝9：4
    (4)HB：BC＝EQ：QC＝2：10＝1：5

    ●AD：DB＝4：1、AG:GF＝1：1のときも同様な補助線を引き
    　DE//BQ　より、AE：EQ＝AD：DB＝4：1＝4a：a
    　FR//BQ，より、QR：RC＝BF：FC＝1：1＝b：b　として
    　　AG：GF＝AE：ER＝AE：(EQ＋QR)＝4a：(a＋b)＝1：1　から
    　　　3a＝bが求められるので
    　AE：EC＝AE：(EQ＋QR＋RC)＝4a：(a＋2b)＝4a：7a＝4：7
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