 | 2007/09/08(Sat) 21:04:46 編集(投稿者)
■No27808に返信(satsumaさんの記事)
> 0<a<1,0<b<1,0<c<1のとき、３数 P=abc+2, Q=(bc+ca+ab+3)/2, R=a+b+c の大小を比較せよ
１つの文字に注目する(→１次関数・直線のグラフとみる→傾きと最大値・最小値）
2(P-Q) = 2abc-(bc+ca+ab)+1 = (2bc-b-c)a-bc+1
ここで、2bc-b-c = (2c-1)b-c (0<=b<=1) について
0<c<=1/2 のとき 2c-1<=0 で b=0 のとき最大値 -c <0
1/2<c<1 のとき 2c-1>0 で b=1 のとき最大値 c-1 <0
すなわち 2bc-b-c<0 で
(2bc-b-c)a-bc+1 (0<=a<=1) は a=1 のとき最小値をとる
よって
(2bc-b-c)a-bc+1 > (2bc-b-c)-bc+1 = (b-1)(c-1) >0 ∴P>Q。
2(Q-R) = bc+ca+ab+3-2(a+b+c) = (b+c-2)a+bc+3-2(b+c)
ここで、b+c-2<0 より 0<=a<=1 では a=1 のとき最小値をとる
よって
(b+c-2)a+bc+3-2(b+c) > (b+c-2)+bc+3-2(b+c) = (b-1)(c-1) >0 ∴Q>R。
以上より P>Q>R。
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