数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 二次関数への変換？？ / Page: 0]

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■27756 / inTopicNo.1)

　二次関数への変換？？

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□投稿者/ 天満一般人(1回)-(2007/09/06(Thu) 20:52:21)

aを実数定数とする。0≦θ≦2πの範囲において
cos2θ-4(a+1)cosθ-4a-1=0
を満たす異なるθの個数を求めよ。

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■27760 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 二次関数への変換？？

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□投稿者/ gaku 一般人(2回)-(2007/09/06(Thu) 23:47:30)

$2$\cos 2\theta=2\cos ^2\theta-1$ より，
$2$2\cos ^2\theta-1-4(a+1)\cos \theta-4a-1=0$
$2$2\cos ^t\theta-4(a+1)\cos \theta-4a-2=0$
2で割って
$2$\cos ^2\theta-2(a+1)\cos \theta-2a-1=0$
これで， $2$\cos \theta$ の2次方程式になりました。
ここで，単純に判別式ではありません。たとえ $2$\cos \theta$ の解が2個あっても
$2$\cos \theta=3$ とかの解が出ても $2$\theta$ の個数には反映されません。
本問題では $2$0\leq \theta<2\pi$ ではなく， $2$0\leq \theta\leq 2\pi$ である
ことに注目すると，ご推察道理2次関数にきりかえて，
$2$y=\cos ^2\theta-2(a+1)\cos \theta-2a-1$ が $2$-1$ 以上 $2$1$ 以下でどう $2$x$ 軸と交わるか。
(1) $2$-1<\cos \theta\leq 1$ で2回 $2$x$ 軸と交われば $2$\theta$ は4個
(2)1つは $2$-1<\cos \theta\leq 1$ で，もう1つは $2$\cos \theta=-1$ で交われば3個
(3)1つは $2$-1<\cos \theta\leq 1$ で，もう1つは $2$-1$ と $2$1$ の外側で交われば2個
または， $2$-1<\cos \theta\leq 1$ で重解も2個
(4)1つは $2$\cos \thea=-1$ で，もう1つは $2$-1$ と $2$1$ の外側で交われば1個
または， $2$\cos \thea=-1$ で重解になるのも1個
(5)2つとも $2$-1$ と $2$1$ の外側もしくは重解もしくは $2$D<0$ で0個

なんて条件をつけまっくったらいいのでは。

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