数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[5]: 数え上げ / Page: 0]

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■27754 / inTopicNo.1)

　数え上げ

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□投稿者/ しげ一般人(1回)-(2007/09/06(Thu) 20:40:45)

連立不等式
2x+3y+6z≦6n,x≦0,y≦0,z≦0を満たすxyz空間の点P(x,y,z)で、x,y,zがすべて整数であるものの個数を求めよ。

どなたか助けて下さい。m(__)m

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■27777 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 数え上げ

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□投稿者/ gaku 一般人(5回)-(2007/09/07(Fri) 15:52:15)

単純に考えて，無限にあると思うんですが。
不等号の向きはこれでいいんでしょうか。

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■27792 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 数え上げ

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□投稿者/ しげ一般人(2回)-(2007/09/07(Fri) 21:14:59)

> 単純に考えて，無限にあると思うんですが。
> 不等号の向きはこれでいいんでしょうか。
済みません。問題を間違えてました。
2x+3y+6z≦6n,0≦x,0≦y,0≦zを満たすxyz空間の点P(x,y,z)で、x,y,zがすべて整数であるものの個数を求めよ。
です。

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■27848 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 数え上げ

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□投稿者/ しげ一般人(3回)-(2007/09/10(Mon) 14:01:53)

> 2x+3y+6z≦6n,0≦x,0≦y,0≦zを満たすxyz空間の点P(x,y,z)で、x,y,zがすべて整数であるものの個数を求めよ。

どなたかお願いします☆

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■27852 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 数え上げ

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□投稿者/ gaku 一般人(14回)-(2007/09/10(Mon) 16:11:55)

xyz空間において，x軸ではx=3n，y軸ではy=2n，z軸ではz=nで交わる平面が
2x+3y+6z=6nです。2x+3y+6z≦6nかつx,y,z≧0とは，三角すいの平面上または内部の
格子点の数を数えます。
まず，zy平面にできる直角三角形の格子点は
初項2n+1，公差-2，項数n+1で数えると
$2$\frac{(n+1)(4n+2-2n)}{2}=(n+1)^2$

この直角三角形の相似形のままx軸方向に滑らせて数えていきます。ところがx軸方向には3進まないと3点とも格子点になる直角三角形はできません。

kが3の倍数のときは3進んだとき縦n-1横2(n-1)になるので上の直角三角形と同じ話ですから，
n個の直角三角形ができます。それプラス(3n,0,0)も入れて
$2$\sum_{k=1}^n(k+1)^2+1=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+n(n+1)+n+1=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$
kが3で割って1余るとき
最初のyz平面から1だけ進むと直角三角形の縦も横も格子点が1つ減ります。
よって，初項2n，公差-2，項数nと考えて
$2$\frac{n\{4n-2(n-1)\}}{2}=n(n+1)$
滑らせることによって，このパターンはn回あるので，
$2$\sum_{k=1}^nk(k+1)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$
kが3で割って2余るとき
最初のyz平面から1だけ進むと直角三角形の縦は1個横は格子点は2つ減ります。
初項2n-1，公差-2，項数nと考えて
$2$\frac{n\{4n-2-2(n-1)\}}{2}=n^2$
滑らせることによって，このパターンはn回あるので
$2$\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

合計 $2$(n+1)^3$

余り自信はありませんのでご容赦を

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■27890 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 数え上げ

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□投稿者/ しげ一般人(4回)-(2007/09/12(Wed) 12:29:18)

よく分かる解説、ありがとうございました。

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