数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[6]: 円錐 / Page: 0]

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■27698 / inTopicNo.1)

　円錐

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□投稿者/ 雪坊主一般人(30回)-(2007/09/03(Mon) 16:53:10)

半径ｒ、中心角θ、面積が $2$2\sqrt3\pi$ のおうぎ形を曲げ、直円錐形の容器を作る。
この直円錐形の容器の体積Ｖが最大値となるときのｒの値を求めなさい。

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■27699 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 円錐

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□投稿者/ miyup 大御所(1456回)-(2007/09/03(Mon) 17:33:42)

2007/09/03(Mon) 19:27:37 編集(投稿者)
2007/09/03(Mon) 19:26:47 編集(投稿者)
2007/09/03(Mon) 19:26:00 編集(投稿者)

■No27698に返信(雪坊主さんの記事)
> 半径ｒ、中心角θ、面積が $2$2\sqrt3\pi$ のおうぎ形を曲げ、直円錐形の容器を作る。
> この直円錐形の容器の体積Ｖが最大値となるときのｒの値を求めなさい。

公式：扇形面積 $2$S=\frac12r^2\theta$ 、扇形弧長 $2$l=r\theta$

円錐底面半径 $2$R$ 、円錐高さ $2$h$ とおく。
$2$2sqrt3\pi=\frac12r^2\theta$ …①
$2$r\theta=2\pi R$ より $2$R=\frac{1}{2\pi}r\theta$ …②
①②より
円錐底面積 $2$S=\pi R^2=\cdots=\sqrt3\theta$ 。
円錐高さ $2$h^2=r^2-R^2=\cdots=\frac{4\sqrt3\pi}{\theta}-\frac{\sqrt3}{\pi}\theta$ 。
よって
円錐体積 $2$V=\frac13Sh$ について
$2$V^2=\frac19S^2h^2=\frac{4\pi}{\sqrt3}\theta-\frac{1}{\sqrt3\pi}\theta^3$ 。
$2$\{V^2\}'=-\frac{\sqrt3}{\pi}(\theta+\frac{2\pi}{\sqrt3})(\theta-\frac{2\pi}{\sqrt3})$ 。
$2$0<\theta<2\pi$ より
$2$\theta=\frac{2\pi}{\sqrt3}$ のとき最大値をとる。 $2$V^2=\frac{16}{9}\pi^2$ より、 $2$V=\frac43\pi$ 。

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■27702 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 円錐

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□投稿者/ 雪坊主一般人(31回)-(2007/09/04(Tue) 12:46:09)

ｒの値を求めるにはどうすればいいのでしょうか？

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■27703 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 円錐

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□投稿者/ miyup 大御所(1457回)-(2007/09/04(Tue) 13:49:35)

2007/09/04(Tue) 13:50:03 編集(投稿者)

■No27702に返信(雪坊主さんの記事)
> ｒの値を求めるにはどうすればいいのでしょうか？
①に $2$\theta=\frac{2\pi}{\sqrt3}$ を代入します。

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■27704 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 円錐

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□投稿者/ 雪坊主一般人(33回)-(2007/09/04(Tue) 14:39:20)

なるほど、ｒの求め方はわかりましたが、
　
もうひとつ質問です。

> 円錐底面半径 $2$R$ 、円錐高さ $2$h$ とおく。
> $2$2sqrt3\pi=\frac12r^2\theta$ …①
> $2$r\theta=2\pi R$ より $2$R=\frac{1}{2\pi}r\theta$ …②

$2$r\theta=2\pi R$ の式なんですが $2$2\pi R$ だと円周の長さにならないのですか？

> ①②より
> 円錐底面積 $2$S=\pi R^2=\cdots=\sqrt3\theta$ 。
> 円錐高さ $2$h^2=r^2-R^2=\cdots=\frac{4\sqrt3\pi}{\theta}-\frac{\sqrt3}{\pi}\theta$ 。

それと、上の面積と高さを求める途中の式がよくわかりません…

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■27705 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 円錐

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□投稿者/ miyup 大御所(1458回)-(2007/09/04(Tue) 16:26:56)

2007/09/04(Tue) 16:29:03 編集(投稿者)

■No27704に返信(雪坊主さんの記事)
>>円錐底面半径 $2$R$ 、円錐高さ $2$h$ とおく。
>> $2$2sqrt3\pi=\frac12r^2\theta$ …①
>> $2$r\theta=2\pi R$ より $2$R=\frac{1}{2\pi}r\theta$ …②
>
> $2$r\theta=2\pi R$ の式なんですが $2$2\pi R$ だと円周の長さにならないのですか？

扇形の弧長＝底面の円周です。

>>①②より
>>円錐底面積 $2$S=\pi R^2=\cdots=\sqrt3\theta$ 。
>>円錐高さ $2$h^2=r^2-R^2=\cdots=\frac{4\sqrt3\pi}{\theta}-\frac{\sqrt3}{\pi}\theta$ 。
② $2$R=\frac{1}{2\pi}r\theta$ および ① $2$r^2=\frac{4\sqrt3\pi}{\theta}$ を代入。

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■27706 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 円錐

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□投稿者/ 雪坊主一般人(34回)-(2007/09/04(Tue) 18:21:35)

大変わかりました。

ｒも求めることができました。ありがとうございました。

解決済み!

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