 | 2007/09/03(Mon) 08:38:31 編集(投稿者)
■No27665に返信(Xさんの記事)
> t=log[10]x
> と置いた後の不等式
> t^3+3t^2-(4+a)t+a＜0
> を
> (t-1)(t^2+4t-a)＜0
> と変形して
(続き)
真数 x＞0 で整数解より、x＝1,2,3,4,… すなわち x≧1 と考えると、t＝log[10]x≧0 としてよい。
f(t)=(t-1)(t^2+4t-a)、g(t)=t^2+4t-a とおく。
g(t)=0 の判別式 D/4=4+a について
D/4≦0(a≦-4)のとき g(t)≧0 より f(t)＜0 は t-1＜0 すなわち t＜1
よって 0≦t(＝log[10]x)＜1 で、これを満たす整数値 x は９個より、不適。
D/4＞0(a＞-4)のとき g(t)＝0 は異なる２実数解を持つ。
その２解をα,β(α＜β)とおくと、α+β＝-4 …①、β＝-2+√(4+a)。
また f(t)=(x-1)(x-α)(x-β) で①より(α負β負 または α負β正)
1) α＜β＜0＜1 のとき、f(t)＜0 の解は 0≦t＜1
これを満たす整数値 x は９個より、不適。
2) α＜0＜β＜1 のとき、f(t)＜0 の解は β＜t＜1
これを満たす整数値 x が高々３個(x=7,8,9)のとき log[10]6≦β＜1
すなわち、0.78≦-2+√(4+a)＜1 , 2.78≦√(4+a)＜3 , これを満たす整数 a は a＝4。
3) α＜0＜β＝１ のとき、f(t)＜0 は解なしより、題意に適する。
すなわち、-2+√(4+a)＝1 , a＝5。
4) α＜0＜1＜β のとき、f(t)＜0 の解は 1＜t＜β
これを満たす整数値 x が高々３個(x=11,12,13)のとき 1＜β≦log[10]14
すなわち、1＜-2+√(4+a)≦1.15 , 3＜√(4+a)≦3.15 , これを満たす整数 a は存在しない。
以上より、a＝4,5。
>増減表をかいてグラフからaの値を求めることはできるのでしょうか？
この問題ではt軸との交点が必要になるので、微分→極値とするのは適切ではありません。
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