 | ■No27584に返信(交渉人さんの記事)
> 点Ｐ（ｐ,０）はx軸のｘ＞０の範囲にあり、点Ｑ（０,ｑ）はｙ軸のｙ＞０の部分にあり、ＰＱ＝ａ（ａは正の定数、０＜ｐ，０＜ｑ）となっている。定点Ａ（１,３√３）と原点Ｏ（０,０）を結ぶ直線が線分ＰＱと交わる点をＲとする。
> ∠ＯＰＱ＝θとするとき、Ｒの座標を求めよ。また２点Ｐ、Ｑが動くとき、ＯＲの最大値を求めよ。
まず、0＜θ＜π/2 で、p＝a・cosθ、q＝a・sinθ。
直線OA：y＝(3√3)x …①
直線PQ：y=(-q/p)x＋q …②
①②連立で、交点Rは
x＝pq/((3√3)p+q)＝a・sinθcosθ/(sinθ+(3√3)cosθ)、
y＝(3√3)x＝(3√3)a・sinθcosθ/(sinθ+(3√3)cosθ)。
ここで
OR^2＝x^2+y^2＝x^2+((3√3)x)^2＝28x^2
＝28a^2(sinθcosθ/(sinθ+(3√3)cosθ))^2 …③より
f(θ)＝sinθcosθ/(sinθ+(3√3)cosθ) とおくと
OR最大⇔f(θ)最大。
f'(θ)＝((√3)cosθ-sinθ)(3(cosθ)^2+(√3)sinθcosθ+(sinθ)^2)/(sinθ+(3√3)cosθ)^2
で、f'(π/3)＝0。増減表よりθ＝π/3 で極大値→(定義域内での)最大値をとる。
よって、ORの最大値は③から OR=√(28a^2・f(π/3))。
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