数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[7]: 定積分 / Page: 0]

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■27487 / inTopicNo.1)

　定積分

□投稿者/ digi ファミリー(183回)-(2007/08/22(Wed) 22:49:41)

$2$F(x)=\displaystyle\int_{-1}^x |t|dt$ (x∈R(実数))
(1)F(x)をもとめよ。
(2)dF(x)/dxを求めよ。

(1)は場合分けをすればいいと思うのですが、分け方が良くわかりません。
(2)は(1)で出てきた関数を微分すればいいのですか？

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■27490 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 定積分

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□投稿者/ miyup 大御所(1423回)-(2007/08/22(Wed) 23:02:33)

2007/08/22(Wed) 23:03:16 編集(投稿者)

■No27487に返信(digiさんの記事)
> $2$F(x)=\displaystyle\int_{-1}^x |t|dt$ (x∈R(実数))
> (1)F(x)をもとめよ。

関数 $2$g(t)=|t|$ は折れ線グラフ(t=0で折れている)
これを -1≦t≦x で積分する（＝面積を求める）ので
x≦0 のとき $2$F(x)=\displaystyle\int_{-1}^x (-t)dt$ （台形の面積）
x≧0 のとき $2$F(x)=\displaystyle\int_{-1}^0 (-t)dt+\displaystyle\int_0^x tdt$ （三角形２つ分の面積）

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■27494 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 定積分

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□投稿者/ digi ファミリー(184回)-(2007/08/23(Thu) 00:07:22)

では、
x≦0 のとき $2$F(x)=-\frac12(x^2-1)$
x≧0 のとき $2$F(x)=\frac12(x^2+1)$

(2)は、
x≦0のとき $2$\frac{d}{dx}F(x)=-x$
x≧0のとき $2$\frac{d}{dx}F(x)=x$
であってますか？

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■27497 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 定積分

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□投稿者/ miyup 大御所(1425回)-(2007/08/23(Thu) 10:40:06)

あっていると思います。

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■27504 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 定積分

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□投稿者/ だるまにおん大御所(361回)-(2007/08/23(Thu) 13:20:39)

2007/08/23(Thu) 13:21:34 編集(投稿者)

もちろん(2)は(1)で得たものを微分しても良いですが、
すぐにdF(x)/dx=|x|と分かりますね。(微積分の基本定理)
(わざわざ積分したものを微分するなんて馬　鹿げてませんか？)

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■27510 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 定積分

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□投稿者/ digi ファミリー(185回)-(2007/08/23(Thu) 22:55:04)

■No27504に返信(だるまにおんさんの記事)
> 2007/08/23(Thu) 13:21:34 編集(投稿者)
>
> もちろん(2)は(1)で得たものを微分しても良いですが、
> すぐにdF(x)/dx=|x|と分かりますね。(微積分の基本定理)
> (わざわざ積分したものを微分するなんて馬　鹿げてませんか？)

確かにそうですね、基本ですよね。ご指摘ありがとうございます。

ところで、実は問題(3)もありまして、
(3)実数全体Ｒで定義された関数G(x)で2次導関数G''(x)はあるが3回は微分可能でない点があるような関数を作れ。

解答を見るとやり方はわかるのですが、(1)と(2)の解き方がよくわかりません（今回、miyupさんとだるまにおんさんが解答してくださった内容はわかります）。
解答を添付するので見てくれませんか？

まず、(1)で場合分けの仕方。①のグラフ。が疑問です。それがわかれば(2),(3)もわかると思うのですが。

1296×972 => 250×187

DSCF0486.JPG/77KB

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■27512 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 定積分

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□投稿者/ miyup 大御所(1427回)-(2007/08/23(Thu) 23:10:44)

2007/08/23(Thu) 23:31:43 編集(投稿者)

(1)①②のF(x)が同じ式なのに
(2)①②のF'(x)が違うのが？です。
これは市販の問題集ですか？

(3)おおざっぱにいえば、x=0 の点で、F(x)は１回だけ微分できるので
　G(x)=∫[t=-1,x] F(t)dt なら２回だけ微分できますね。

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■27524 / inTopicNo.8)

　Re[7]: 定積分

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□投稿者/ digi ファミリー(186回)-(2007/08/25(Sat) 01:53:34)

> (1)①②のF(x)が同じ式なのに
> (2)①②のF'(x)が違うのが？です。
> これは市販の問題集ですか？
そうです。

> (3)おおざっぱにいえば、x=0 の点で、F(x)は１回だけ微分できるので
> 　G(x)=∫[t=-1,x] F(t)dt なら２回だけ微分できますね。

dF(x)/dx=|x|だから、グラフを描けばx=0では微分可能でないことはわかるのですが、式から微分可能でないことを導く場合には、
　x≦0ではG'''(0)=-1、x≧0ではG'''(0)=1
だからG'''(0)が定まらないから微分可能でない、という感じでいいでしょうか？

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