 | 2007/08/22(Wed) 21:33:10 編集(投稿者)
■No27480に返信(ソルファさんの記事)
> aを定数として、関数f(x^3−3x^2+9|x-a|+1)を考える。
> (1)x＞aの範囲でf(x)は増加することを示せ
> (2)実数全体でf(x)が増加するためのaの条件を求めよ
> (3)x≧−1の範囲でのf(x)の最小値をmとするとき、mをaを用いて表せ
> (4) (3)の最小値mが-3となるaの値を求めよ
x>aのとき
f(x)=x^3-3x^2+9x-9a+1 =g(x)とおく
x=aのとき
f(x)=f(a)=a^3-3a^2+1 ←ここでg(x),h(x)が接続している
x<aのとき
f(x)=x^3-3x^2-9x+9a+1 =h(x)とおく
(1)g(x)について g'(x)=3(x-1)^2+6 >0 より増加。
(2)h(x)について h'(x)=3(x+1)(x-3) で-1≦x≦3 のとき減少より
実数全体でf(x)増加ならば、g(x),h(x)の接続点(x=aであるグラフ上の点)は、a<-1 でなければならない。
(3)g(x),h(x)の接続点の位置で分類する
a<-1 のとき m=g(-1)=-9a-12
-1≦a≦3 のとき m=g(a)=h(a)=f(a)=a^3-3a^2+1
3<a のとき m=h(3)=9a-26
(4)(3)より
g(-1)=-3 のとき a=-1 で不適
f(a)=-3 のとき a=-1,2 で適
h(3)=-3 のとき a=23/9 で不適
以上より、a=-1,2。
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