 | ■No27423に返信(始め手さんの記事)
>  ≧
> が全ての実数xで満たすような ←成り立つような
> aの範囲を求めよ。
前提条件：a＞0
f(x)＝a^x と g(x)＝x^a の共有点のｘ座標は x＝a。
y=f(x)、y=g(x)とも x＝a であるグラフ上の点は変曲点でない。…①
f'(x)＝a^x・log a、g'(x)＝ax^(a-1) で、f'(a)＝a^a・log a、g'(a)＝a^a より
a＝e のときのみ f'(a)＝g'(a) …②
a≠e のときは f'(a)≠g'(a)。…③
共有点におけるy=f(x)、y=g(x)の接線について
②では共通接線になり、①を考慮すれば、常にf(x)≧g(x) となっている。
③ではx＝aの前後でf(x)とg(x)の大小が入れ替わる。
以上より
題意を満たすのは a＝e。
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