 | 2007/08/19(Sun) 11:17:09 編集(投稿者)
■No27408に返信(macさんの記事)
> ２つの楕円 x^2/3 + y^2 = 1 , x^2 + y^2/3 = 1 で囲まれる共通部分の面積を求めよ。
>
> 図を描いてみたら結構きれいな図形で，対称性を用いれば楽に解けるのではないかなと考えたのですが，どのように区切って求めるのが一番楽に早く解けるのかを教えてもらえたらと思います。
対称性がポイントです。
２つの楕円の４つの交点と原点を結ぶ線分およびｘ、ｙ軸で図形を８等分します。
扇形っぽい１つの図形の面積を出すことにします。
第１象限における２つの楕円の交点を求め(x^2/3 + y^2 = 1 に y=x を代入、x=√3/2)
面積を∫[x=0,√3/2] y dx - 直角二等辺三角形面積(1/2・√3/2・√3/2)
で求めます。
ここで
∫[x=0,√3/2] y dx = ∫[x=0,√3/2] 1/√3・√(3-x^2) dx ですが
∫[x=0,√3/2] √(3-x^2) dx は中心Ｏ,半径√3の円の第１象限における 0≦x≦√3/2 の部分の面積より
∫[x=0,√3/2] √(3-x^2) dx = 中心角30°扇形の面積(1/12・π・√3・√3) + 直角三角形面積(1/2・√3・√3/2・sin60°)
で求めます。
積分計算はありません。
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