数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 二項定理の証明がわかりません。 / Page: 0]

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■27397 / inTopicNo.1)

　二項定理の証明がわかりません。

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□投稿者/ noa* 一般人(1回)-(2007/08/18(Sat) 22:17:41)

(1＋x)^n(x＋1)^ｎ＝(1＋x)^2ｎ　を用いて次の等式を証明せよ。

ｎC[0]^2＋ｎC[1]^2＋…＋ｎCn^2＝[2ｎ]Cｎ

教えてください!!お願いします。

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■27400 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 二項定理の証明がわかりません。

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□投稿者/ けにいファミリー(179回)-(2007/08/18(Sat) 23:14:12)

n 個のものから k 個とってくる組み合わせの数を C[n,k] と表すことにします。
恒等式 (1 + x)^n (1 + x)^n = (1 + x)^(2n) において

[左辺]
= ( ∑[i:0→n] C[n,i] x^i ) ( ∑[j:0→n] C[n,j] x^(n-j) )
= ∑[i:0→n] ∑[j:0→n] C[n,i] C[n,j] x^(n+i-j)

なので、n 次の項は j = i を満たす項を拾い集めた ∑[i:0→n] C[n,i]^2 x^n
となります。一方、

[右辺] = ∑[i:0→2n] C[2n,i] x^i

における n 次の項は C[2n,n] x^n なので ∑[i:0→n] C[n,i]^2 = C[2n,n]
が成立します。

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■27402 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 二項定理の証明がわかりません。

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□投稿者/ noa* 一般人(2回)-(2007/08/18(Sat) 23:36:47)

2007/08/18(Sat) 23:38:23 編集(投稿者)

アドバイスありがとうございますと言いたいところなんですがΣのことをまだ習ってないのでΣなしの説明してくださったら嬉しいです(>Ａ<;)すいません。

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■27405 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 二項定理の証明がわかりません。

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□投稿者/ てくてく一般人(2回)-(2007/08/19(Sun) 00:17:12)

少し見づらいかもしれませんが、
添付した画像ファイルを参考にして下さい。
考え方は、けにいさんのものとほぼ同じです。