数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[8]: 積分 / Page: 0]

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■27333 / inTopicNo.1)

　積分

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□投稿者/ digi ファミリー(173回)-(2007/08/13(Mon) 22:00:37)

$2$\displaystyle\int \frac{1}{1+\cos ^2{x}}dx$ を求めたいのですが。わかりません。お願いします。

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■27334 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 積分

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□投稿者/ ウルトラマン大御所(311回)-(2007/08/13(Mon) 22:03:46)

digiさん，こんばんわ．

$2$ \tan \left(\frac{x}{2}\right)=t$
とおいて，置換積分してみてください．

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■27335 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 積分

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□投稿者/ digi ファミリー(174回)-(2007/08/13(Mon) 23:22:55)

2007/08/13(Mon) 23:25:31 編集(投稿者)
2007/08/13(Mon) 23:24:39 編集(投稿者)

$2$\tan \left(\frac{x}{2}\right)=t$
とおくと、
$2$\cos {x}=\frac{1-t^2}{1+t^2},dx=\frac{2}{1+t^2}dt$
となりますよね。そうすると、
（与式） $2$=\frac{t^2+1}{t^4+1}dt$
となると思いますが、この後がわかりません。

この置き換えはよく使われるのですか？

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■27339 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 積分

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□投稿者/ だるまにおん大御所(340回)-(2007/08/14(Tue) 10:49:24)

横から失礼します。

tan(x/2)=tの置換はよく行われますが、
今回はtanx=tと置換したほうが簡単です。

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■27346 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 積分

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□投稿者/ digi ファミリー(176回)-(2007/08/14(Tue) 21:37:00)

とりあえず、tan(x/2)=tでできました。

> 今回はtanx=tと置換したほうが簡単です。

これは、問題を見るとすぐわかることですか？

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■27347 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 積分

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□投稿者/ ウルトラマン大御所(312回)-(2007/08/14(Tue) 21:52:00)

digiさん，こんばんわ．

> とりあえず、tan(x/2)=tでできました。
>
>>今回はtanx=tと置換したほうが簡単です。
>
> これは、問題を見るとすぐわかることですか？

えぇ～と，
$2$ \displaystyle\int R(\cos x,\sin x)dx$
（ただし， $2$R(x,y)$ は $2$x,y$ の有理関数）
の形の不定積分を， $2$t=\tan (x/2)$ で置換して，
$2$ \sin x = \frac{2t}{1+t^{2}}, \quad \cos x = \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}, \quad dx = \frac{2}{1+t^{2}}dt$
$2$ \displaystyle\int R(\sin x, \cos x) dx = \displaystyle\int R\left(\frac{2t}{1+t^{2}},\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\right)\frac{2}{1+t^{2}}dt$
と計算する方法については，かなり有名です．その辺の微積の教科書に必ず載っているはずなので，再度，微積の教科書で調べてみてください．

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■27350 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 積分

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□投稿者/ digi ファミリー(177回)-(2007/08/15(Wed) 01:04:46)

わかりました。どうもありがとうございます。

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■27351 / inTopicNo.8)

　Re[7]: 積分

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□投稿者/ digi ファミリー(178回)-(2007/08/15(Wed) 01:15:16)