 | 以下のように考えたらいいかと思います。
(すみませんが、計算間違いがあるかもしれません。)
(1)
cos２Ｂ＝１－２sin^2 Ｂで、
また、①が成り立つ時、４sin^2 Ａ＝１－２sin^2 Ｂなので、
cos２Ｂ＝４sin^2 Ａとなる。
(2)
sin^2 ２Ｂ＋cos^2 ２Ｂ＝１で、
(1)より、cos２Ｂ＝４sin^2 Ａなので、sin^2 ２Ｂ＋１６sin^4 Ａ＝１となり、
さらに、②が成り立つ時、４sin^2 ２Ａ＋１６sin^4 Ａ＝１より、
１６sin^2 Ａcos^2 Ａ＋１６sin^4 Ａ＝１
→ １６sin^2 Ａ(１－sin^2 Ａ)＋１６sin^4 Ａ＝１
→ １６sin^2 Ａ＝１
→ sin^2 Ａ＝１／１６で、
sin Ａ＝±１／４となり、
Ａは三角形の内角(０＜Ａ＜π)で、０＜sinＡ≦１なので、sinＡ＝１／４となる。
(3)
(1)より、sinＡ＝１／４で、
これを①に代入すると、１／４＋２sin^2 Ｂ＝１より、
sin^2 Ｂ＝３／８で、
sinＢ＝±√６／４となり、
Ｂは三角形の内角(０＜Ｂ＜π)で、０＜sinＢ≦１なので、sinＢ＝√６／４となる。
また、
cos２Ｂ＝４sin^2 Ａ＝１／４より、
π／３＜２Ｂ＜π／２ → π／６＜Ｂ＜π／４で、
√２／２＜cosＢ＜√３／２なので、cosＢ＝√{４^2－(√６)^2}／４＝√１０／４となり、
sin２Ａ＝２sinＡcosＡ＝cosＡ／２, sin２Ａ＝sin２Ｂ／２＝sinＢcosＢ＝√１５／８より、
cosＡ／２＝√１５／８で、cosＡ＝√１５／４となるので、
sinＣ＝sin{π－(Ａ＋Ｂ)}＝sin(Ａ＋Ｂ)＝sinＡcosＢ＋cosＡsinＢ＝√１０／４となる。
|
