 | 底の変換公式を用いて、底を 10 に統一すると
log[1/2](10) log[10](x + 1) ≧ log[x+1](1/2)
⇒ log[10](10) / log[10](1/2) × log[10](x + 1) ≧ log[10](1/2) / log[10](x + 1)
となります。ここで log[10](1/2) ＜ 0 に注意し、log[10](x + 1) の正負で
場合分けをして見ましょう:
(1) log[10](x + 1) ＞ 0 すなわち x + 1 ＞ 1 のとき
(log[10](x + 1))^2 ≦ (log[10](1/2))^2
⇒ ( log[10](x + 1) + log[10](2) ) ( log[10](x + 1) - log[10](2) ) ≦ 0
⇒ -log[10](2) ≦ log[10](x + 1) ≦ log[10](2)
となるので、log の単調性から
1 ＜ x + 1 ≦ 2
⇒ 0 ＜ x ≦ 1
です。
(2) log[10](x + 1) ＜ 0 すなわち 0 ＜ x + 1 ＜ 1 のとき、(1) と同様に
log[10](x + 1) ≦ -log[10](2) または log[10](x + 1) ≧ log[10](2)
となるので
0 ＜ x + 1 ≦ 1/2
⇒ -1 ＜ x ≦ -1/2
です(x + 1 ≧ 2 は不適)。
以上、(1), (2) から -1 ＜ x ≦ -1/2 または 0 ＜ x ≦ 1 が得られます。
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