数学ナビゲーター掲示板
(現在 過去ログ3 を表示中)

HOME HELP 新規作成 新着記事 トピック表示 発言ランク ファイル一覧 検索 過去ログ

[ 最新記事及び返信フォームをトピックトップへ ]

■27160 / inTopicNo.1) 　お願いします
  ▼■
□投稿者/ やまとも 軍団(125回)-(2007/08/07(Tue) 00:31:47)
    pを素数、qを整数とする。2つの方程式x^3-2x^2+x-p=0,x^2-x+q=0が1つの共通な解を持つとき、p,qの値を求めよ。

    共通解をx=αとして、どのようにすれば良いのですか？教えてください。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■27161 / inTopicNo.2) 　Re[1]: お願いします
□投稿者/ miyup 大御所(1382回)-(2007/08/07(Tue) 08:07:14)
    2007/08/07(Tue) 08:08:43 編集(投稿者)

    ■No27160に返信(やまともさんの記事)
    > pを素数、qを整数とする。2つの方程式x^3-2x^2+x-p=0,x^2-x+q=0が1つの共通な解を持つとき、p,qの値を求めよ。
    >
    > 共通解をx=αとして、どのようにすれば良いのですか？教えてください。

    x^3-2x^2+x-p=0 は (x-α)(x^2+γx+δ)=0…①
    x^2-x+q=0 は (x-α)(x-β)=0…②
    とおける。
    ①係数比較より αδ=p(素数) で
    i)α=1,δ=p のとき
    ii)α=p,δ=1 のとき
    に分けて残りのγ,β,p を求めていく。
    最後に１つの共通な解を持つかどうか確認する。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■27206 / inTopicNo.3) 　Re[2]: お願いします
□投稿者/ だるまにおん 大御所(310回)-(2007/08/08(Wed) 23:31:28)
    αが整数である、というのは自明なことなのでしょうか？
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■27209 / inTopicNo.4) 　Re[3]: お願いします
□投稿者/ miyup 大御所(1386回)-(2007/08/09(Thu) 00:00:03)
    2007/08/09(Thu) 00:12:47 編集(投稿者)

    ■No27206に返信(だるまにおんさんの記事)
    > αが整数である、というのは自明なことなのでしょうか？

    なるほど…証明しなくてはなりませんね。さらに正負も考えねば。
    　　iii)α=-1,δ=-p のとき,iv)α=-p,δ=-1 のとき

    ではこれはどうでしょうか
    x^3-2x^2+x-p = (x^2-x+q)(x-1) -qx-p+q
    共通解x=αを代入
    0 = -qα-p+q
    p = q(1-α) で p：素数、q：整数より 1-α：整数（α：整数）
    あとは
    (q,1-α)=(1,p)(p,1)(-1,-p)(-p,-1)として考える。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■27210 / inTopicNo.5) 　Re[4]: お願いします
□投稿者/ だるまにおん 大御所(313回)-(2007/08/09(Thu) 00:12:30)
    ＞ p = q(1-α) で p：素数、q：整数より 1-α：整数（α：整数）
    これはおかしいと思いますが…。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■27214 / inTopicNo.6) 　Re[5]: お願いします
□投稿者/ miyup 大御所(1387回)-(2007/08/09(Thu) 00:26:45)
    ■No27210に返信(だるまにおんさんの記事)
    > ＞ p = q(1-α) で p：素数、q：整数より 1-α：整数（α：整数）
    > これはおかしいと思いますが…。

    そうですね。(ex. 3=6*1/2)
    もう少し考えてみましょう。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■27219 / inTopicNo.7) 　Re[1]: お願いします
□投稿者/ おろかもの 一般人(11回)-(2007/08/09(Thu) 01:11:00)
    x^3-2x^2+x-p=0
    より
    x(x^2-x)-(x^2-x)=p
    です。もうひとつの式より、共通解αに対してα^2-α=-qなので、
    (i):q(1-α)=p
    となります。つまりαは整数である必要があります。
    さて、αはx^2-x+q=0の解であるので、
    (ii):2α=1±√(1-4q)
    です。√の中身に注目すれば1-4q>0.つまりq<0である必要があります。q=-1は２αが整数にならないのでq<-1です。
    (i)より1-αは負であり、(ii)とあわせて
    2α=1+√(1-4q)
    がわかります。さて、この表示をみると、2αが整数でない有理数になることはありません。つまり2αは整数。
    以上と(i)よりq(2-2α)=2pであり、pは素数であることから、
    (iii):q=-2,-p,-2pのいずれかになります。（注：q<-1）
    このとき、それぞれ、
    1-√(1-4q)=-p,-2,-1.
    あとはチェックするのみ。

    q=-2ならp=2でOK.

    1-√(1-4q)=-2
    ならq=-2となりp=2で上と同じ解。

    1-√(1-4q)=-1
    なら1-4q=4で不可。

    結論はp=2,q=-2.
    こんな感じでしょうか？
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■27220 / inTopicNo.8) 　Re[2]: お願いします
□投稿者/ だるまにおん 大御所(316回)-(2007/08/09(Thu) 01:13:37)
    >(i):q(1-α)=p
    >となります。つまりαは整数である必要があります。
    これは何故ですか？
    (今までのやりとり読んでますか？)
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■27221 / inTopicNo.9) 　Re[3]: お願いします
□投稿者/ だるまにおん 大御所(317回)-(2007/08/09(Thu) 01:21:36)
    miyupさんの返信を待たず解を書き込みますが(お気を悪くされたら御免なさい)次のようにすれば簡単に解けます。

    共通解をαとすると
    α^3-2α^2+α-p=0
    α^2-α+q=0
    となり、この両式から
    q(1-α)=p
    が得られます。これからαは有理数であることが分かり、No27029,27036よりαは整数であることが分かります。すると
    α^3-2α^2+α-p=0⇔α(α^2-α)-(α^2-α)=p
    α^2-αは偶数でpは素数なのでp=2しか有り得ません。
    (p=2からq=-2を得るのは極めて容易なので省略します。)
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■27223 / inTopicNo.10) 　Re[4]: お願いします
□投稿者/ だるまにおん 大御所(318回)-(2007/08/09(Thu) 01:27:18)
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■27224 / inTopicNo.11) 　Re[4]: お願いします
□投稿者/ miyup 大御所(1390回)-(2007/08/09(Thu) 01:28:59)
    2007/08/09(Thu) 09:36:54 編集(投稿者)

    ■No27221に返信(だるまにおんさんの記事)
    > miyupさんの返信を待たず解を書き込みますが(お気を悪くされたら御免なさい)

    いえいえ、解答が完全になるにこしたことはありません。すっきりしました。
    なかなかむずかしいですね。

    「整数を係数とする二次方程式 x^2+ax+b=0 が有理数解を持つとき、それは必ず整数である」
    は定理として持っておく方がよさそうですね。
    　(別解)
    　整数でない有理数解 x=n/m を持つとする(m,n互いに素,m≠1)。
    　代入(n/m)^2+a(n/m)+b=0、m^2b=-n(n+ma)
    　m,n互いに素より、n+maはm^2の倍数。
    　ところで n+maがmの倍数になるのは nがmの倍数になるときのみで、m,n互いに素に反する。
    　よって n+maはmの倍数でない。すなわち n+maはm^2の倍数でない。
    　以上より与えられた方程式は整数でない有理数解を持たない。(終)
    こんな感じですか。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■27250 / inTopicNo.12) 　Re[1]: お願いします
□投稿者/ Sylvester 一般人(2回)-(2007/08/10(Fri) 10:09:57)
    ■No27160に返信(やまともさんの記事)
    > pを素数、qを整数とする。2つの方程式x^3-2x^2+x-p=0,x^2-x+q=0が1つの共通な解を持つとき、p,qの値を求めよ。
    >

    共通な解を持つとき;


    http://b4.spline.tv/study777/?message=327
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/


トピック内ページ移動 / << 0 >>

このトピックに書きこむ

過去ログには書き込み不可

Mode/　 Pass/

HOME HELP 新規作成 新着記事 トピック表示 発言ランク ファイル一覧 検索 過去ログ

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター