数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[6]: サイクロイドの回転体 / Page: 0]

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■27156 / inTopicNo.1)

　サイクロイドの回転体

□投稿者/ 考える人一般人(43回)-(2007/08/06(Mon) 19:50:03)

問題

媒介変数 $2$ \theta$ で表されたサイクロイド
　　 $2$x=\alpha (\theta -\sin \theta ), y=\alpha (\theta -\cos \theta )\quad \quad (0\leq \theta \leq 2 \pi )$ と $2$x$ 軸とで囲まれた図形を、 $2$y$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ。ただし $2$a$ は正の整数とする。

まず
　　 $2$y$ 軸に垂直な直線とサイクロイドの交点を左から $2$(x_1,y), (x_2,y)$ とする。
$2$y$ から $2$y+\Delta$ までの部分を $2$y$ 軸まわりに回転してできる立体の体積 $2$\Delta V$ は
　 $2$\Delta V=\left( \pi {x_2}^2- \pi {x_1}^2 \right) \Delta y =\pi(x_2+x_1)(x_2-x_1)\Delta y =2\pi^2 a(x_2-x_1)\Delta y$
と表され
$2$(x_2-x_1)\Delta y$ は $2$y$ から $2$y+\Delta$ の部分の面積である。

これより
サイクロイドと $2$x$ 軸とが囲む部分の面積を $2$S$ とすると
どうして

　　　 $2$V=2\pi^2 aS$ と表すことができるのでしょうか？
教えてください。お願いします。

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■27157 / inTopicNo.2)

　Re[1]: サイクロイドの回転体訂正

▲▼■

□投稿者/ 考える人一般人(44回)-(2007/08/06(Mon) 19:53:55)

訂正です。
すみません、 $2$ \Delta$ の後ろに $2$y$ を入れ忘れた部分がありました。

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■27158 / inTopicNo.3)

　Re[1]: サイクロイドの回転体

▲▼■

□投稿者/ miyup 大御所(1381回)-(2007/08/06(Mon) 20:25:28)

2007/08/09(Thu) 01:23:00 編集(投稿者)
2007/08/06(Mon) 20:30:47 編集(投稿者)

■No27156に返信(考える人さんの記事)
> まず
> 　　 $2$y$ 軸に垂直な直線とサイクロイドの交点を左から $2$(x_1,y), (x_2,y)$ とする。
> $2$y$ から $2$y+\Delta y$ までの部分を $2$y$ 軸まわりに回転してできる立体の体積 $2$\Delta V$ は
> 　 $2$\Delta V=\left( \pi {x_2}^2- \pi {x_1}^2 \right) \Delta y =\pi(x_2+x_1)(x_2-x_1)\Delta y =2\pi^2 a(x_2-x_1)\Delta y$
> と表され
> $2$(x_2-x_1)\Delta y$ は $2$y$ から $2$y+\Delta y$ の部分の面積である。
>
> これより
> サイクロイドと $2$x$ 軸とが囲む部分の面積を $2$S$ とすると
> どうして
> 　　　 $2$V=2\pi^2 aS$ と表すことができるのでしょうか？

以下厳密性に欠ける記述ですが（本来は $2$\lim \sum$ で表現すべきもの）
$2$V=\displaystyle\int_0^{2a} \Delta V dy=\displaystyle\int_0^{2a} 2\pi^2 a(x_2-x_1)\Delta y dy=2\pi^2 a \displaystyle\int_0^{2a} (x_2-x_1)\Delta y dy$
で
$2$(x_2-x_1)\Delta y=\Delta S$ （サイクロイドとｘ軸で囲む図形をｘ軸に平行にスライスしてできる長方形？の面積）
より
$2$\displaystyle\int_0^{2a} (x_2-x_1)\Delta y dy=\displaystyle\int_0^{2a} \Delta S dy=S$
と考えてはどうでしょう。

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■27162 / inTopicNo.4)

　Re[2]: サイクロイドの回転体

▲▼■

□投稿者/ 考える人一般人(45回)-(2007/08/07(Tue) 10:04:56)

■No27158に返信(miyupさんの記事)
> 2007/08/06(Mon) 20:30:47 編集(投稿者)
>
> ■No27156に返信(考える人さんの記事)
>>まず
>>　　 $2$y$ 軸に垂直な直線とサイクロイドの交点を左から $2$(x_1,y), (x_2,y)$ とする。
>> $2$y$ から $2$y+\Delta y$ までの部分を $2$y$ 軸まわりに回転してできる立体の体積 $2$\Delta V$ は
>>　 $2$\Delta V=\left( \pi {x_2}^2- \pi {x_1}^2 \right) \Delta y =\pi(x_2+x_1)(x_2-x_1)\Delta y =2\pi^2 a(x_2-x_1)\Delta y$
>>と表され
>> $2$(x_2-x_1)\Delta y$ は $2$y$ から $2$y+\Delta y$ の部分の面積である。
>>
>>これより
>>サイクロイドと $2$x$ 軸とが囲む部分の面積を $2$S$ とすると
>>どうして
>>　　　 $2$V=2\pi^2 aS$ と表すことができるのでしょうか？
>
> 以下厳密性に欠ける記述ですが（本来は $2$\lim \sum$ で表現すべきもの）
> $2$V=\displaystyle\int_0^a \Delta V dy=\displaystyle\int_0^a 2\pi^2 a(x_2-x_1)\Delta y dy=2\pi^2 a \displaystyle\int_0^a (x_2-x_1)\Delta y dy$
> で
> $2$(x_2-x_1)\Delta y=\Delta S$ （サイクロイドとｘ軸で囲む図形をｘ軸に平行にスライスしてできる長方形？の面積）
> より
> $2$\displaystyle\int_0^a (x_2-x_1)\Delta y dy=\displaystyle\int_0^a \Delta S dy=S$
> と考えてはどうでしょう。

すみません、どうして $2$\displaystyle\int_1^4 {}$ になるのか分かりません。
教えてください。

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■27163 / inTopicNo.5)

　Re[3]: サイクロイドの回転体

▲▼■

□投稿者/ 考える人一般人(46回)-(2007/08/07(Tue) 10:06:28)

すみません、間違えました。どうして $2$\displaystyle\int_0^a {}$ になるのか分かりません。
教えてください。

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■27164 / inTopicNo.6)

　Re[4]: サイクロイドの回転体

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□投稿者/ 豆一般人(24回)-(2007/08/07(Tue) 10:25:57)

2007/08/07(Tue) 10:27:20 編集(投稿者)

横からです。
一般に面積Sを持つ領域が、その領域に入らない軸の周りに
回転するときに出来る体積に関してはパップスギュルダンの定理というのがあります。
微小面積dSが回転軸からの距離rで回転するとき、出来る微小体積は
dV=2πrdSなので、V=2π∫rdS
一方、面密度が一定であれば、軸に垂直方向の重心をr[G]とすれば、重心の定義から、
r[G]S=∫rdSなので、V=2πr[G]Sとなります。

この場合はサイクロイドで(y=a(1-cosθ)の記載ミスですね)、θ=πつまりx=πaに関して、
左右対称形なので、r[G]=πa
従って、V=2π・πaS=2π^2aS

軸からa離れた半径rの円(r＜a)が回転する場合に出来るドーナツ状の体積は
V=2πa・πr^2=2π^2ar^2　など役に立つ定理ですね。
（受験でダイレクトの引用に関しては責任がもてませんが・・・）

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■27165 / inTopicNo.7)

　Re[5]: サイクロイドの回転体

▲▼■

□投稿者/ 考える人一般人(47回)-(2007/08/07(Tue) 10:29:28)

■No27164に返信(豆さんの記事)
> 2007/08/07(Tue) 10:27:20 編集(投稿者)
>
> 横からです。
> 一般に面積Sを持つ領域が、その領域に入らない軸の周りに
> 回転するときに出来る体積に関してはパップスギュルダンの定理というのがあります。
> 微小面積dSが回転軸からの距離rで回転するとき、出来る微小体積は
> dV=2πrdSなので、V=2π∫rdS
> 一方、面密度が一定であれば、軸に垂直方向の重心をr[G]とすれば、重心の定義から、
> r[G]S=∫rdSなので、V=2πr[G]Sとなります。
>
> この場合はサイクロイドで(y=a(1-cosθ)の記載ミスですね)、θ=πつまりx=πaに関して、
> 左右対称形なので、r[G]=πa
> 従って、V=2π・πaS=2π^2aS
>
> 軸からa離れた半径rの円(r＜a)が回転する場合に出来るドーナツ状の体積は
> V=2πa・πr^2=2π^2ar^2　など役に立つ定理ですね。
> （受験でダイレクトの引用に関しては責任がもてませんが・・・）

豆さん、すみません、
y=a(1-cosθ)は記載ミスではありません。

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■27171 / inTopicNo.8)

　Re[4]: サイクロイドの回転体

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□投稿者/ miyup 大御所(1383回)-(2007/08/07(Tue) 12:06:43)

2007/08/09(Thu) 01:23:39 編集(投稿者)

■No27163に返信(考える人さんの記事)
>
> すみません、間違えました。どうして $2$\displaystyle\int_0^{2a} {}$ になるのか分かりません。
> 教えてください。
>

サイクロイドのグラフの値域(積分範囲) 0≦y≦2a

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■27218 / inTopicNo.9)

　Re[5]: サイクロイドの回転体

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□投稿者/ 考える人一般人(48回)-(2007/08/09(Thu) 01:09:32)

■No27171に返信(miyupさんの記事)

> サイクロイドのグラフの値域(積分範囲) 0≦y≦a
miyupさん、すみません、
サイクロイドのグラフの値域(積分範囲) 0≦y≦aとなるのはどうしてですか？
サイクロイドのグラフの値域(積分範囲)は0≦y≦2aではないのですか？
教えてください。

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■27222 / inTopicNo.10)

　Re[6]: サイクロイドの回転体

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□投稿者/ miyup 大御所(1389回)-(2007/08/09(Thu) 01:22:00)

■No27218に返信(考える人さんの記事)
> ■No27171に返信(miyupさんの記事)
>
>>サイクロイドのグラフの値域(積分範囲) 0≦y≦a
> miyupさん、すみません、
> サイクロイドのグラフの値域(積分範囲) 0≦y≦aとなるのはどうしてですか？
> サイクロイドのグラフの値域(積分範囲)は0≦y≦2aではないのですか？

ごめんなさい。0≦y≦2aですね。
インテグラルの上端を全部2aに訂正します。

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