 | これは，京都大学などでよく出題される類のベクトルの一般問題ですね．
このような問題では，しっかり状況を設定することが大事になります．
5点をA,B,C,D,Eとし，ベクトルの始点を適当にOとします．
このとき，OA~=a~(~はベクトルの矢印→の意味)，以下b~,c~,d~,e~とします．
三角形を作る頂点をA,B,Cとしましょう．このとき，△ABCの重心Gに対してOG~=(a~+b~+c~)/3，
残りはD,Eで，DEの中点Mに対してOM~=(d~+e~)/2となります．
ここで，直線GM上の点Pのベクトルは，実数tを用いてOP~=t*OG~+(1-t)OM~ =(t/3)*(a~+b~+c~)+{(1-t)/2}*(d~+e~)…①と書けます．
さて，次がポイントですが，この問題で示したいことは，
『3点の選び方によらず，直線GMが定点を通る』，つまり
『三角形を作る点がA,B,Cでなくても，同様にOP~を計算し，うまく実数tを定めると，OP~はある決まったベクトルを表すことができる』
ということになります．
この定点については，感覚的ですが，この時点でピンと来てもらえると幸いですが，明らかにOP~=k*(a~+b~+c~+d~+e~)の形をしています．
つまり，①において，t/3=(1-t)/2ならばよい．⇒t=3/5で，OP~=(a~+b~+c~+d~+e~)/5．
さて，OP~=(a~+b~+c~+d~+e~)/5 が，3点の選び方によらないことの証明ですが，
選んだ3点をp~,q~,r~(これはa~～e~で適当に3つ選んだ)とし，残りの2点をs~,t~とすると，
OP~=(p~+q~+r~)/5 +(s~+t~)/5 =(3/5)*(p~+q~+r~)/3 +(2/5)*(s~+t~)/2 =(3/5)OG~+(2/5)OM~となるため，
三角形の選び方によらずGMを2:3に内分する点がOP~=(a~+b~+c~+d~+e~)/5になる．
という具合です．最後に，任意で3点選ぶというところが難しいですね．
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