 | ベクトル n を S の Ω に対する外向き単位法線ベクトルと解釈します。まず、
[∂/∂xi] |x|
= [∂/∂xi] √(... + xi^2 + ...)
= xi / √(... + xi^2 + ...)
= xi/|x|
から ∇|x| = x/|x| が成り立つことを用います。
(1) p ∈/≡ Ω のとき
被積分関数は滑らかなので、ガウスの発散定理より
∫_S ((x - p)/|x - p|^3)・n ds
= ∫_Ω ∇・((x - p)/|x - p|^3) dx
= ∫_Ω { ( ∇・(x - p) |x - p|^3 - (x - p)・(3|x - p|^2 ∇|x - p|) ) / |x - p|^6 } dx
= ∫_Ω { ( 3|x - p|^3 - (x - p)・(3|x - p|^2 (x - p)/|x - p|) ) / |x - p|^6 } dx
= 3 ∫_Ω 0 dx
= 0 ･･･ (i)
となります。
(2) p ∈ Ω のとき
閉球 B[r] = { x: |x - p| ≦ r } ⊂ Ω の境界 S[r] 上で積分するために
x1 = p1 + r cos(θ)
x2 = p2 + r sin(θ) cos(φ)
x3 = p3 + r sin(θ) sin(φ)
(0 ≦ θ ≦ π, 0 ≦ φ ≦ 2π)と極座標変換してみると、面素は ds = r^2 sin(θ) dθ dφ
と表されます。また、外向き単位法線ベクトルは
ν(θ, φ) = (cos(θ), sin(θ) cos(φ), sin(θ) sin(φ))
であり、x - p = r ν(θ, φ), |x - p| = r を用いれば
∫_S[r] ((x - p)/|x - p|^3)・n ds
= ∫[0→2π] ∫[0→π] (r ν(θ, φ) / r^3)・ν(θ, φ) r^2 sin(θ) dθ dφ
= ∫[0→2π] dφ × ∫[0→π] sin(θ) dθ
= 2π[ -cos(θ) ]_[0→π]
= 4π ･･･ (ii)
となります。いま、被積分関数は領域 Ω＼B[r] で滑らかであり、その境界
S∪S[r] 上の積分は式(i)から 0 になります。また、境界の一部 S[r] で
外向き法線ベクトルが式(ii)と逆向きになることに注意すると
0 = ∫_{S∪S[r]} ((x - p)/|x - p|^3)・n ds
= ∫_S ((x - p)/|x - p|^3)・n ds + ∫_S[r] ((x - p)/|x - p|^3)・n ds
= ∫_S ((x - p)/|x - p|^3)・n ds - 4π
であることが分かります。
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