数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: オイラー関数 / Page: 0]

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■26919 / inTopicNo.1)

　オイラー関数

□投稿者/ Sweet 付き人(68回)-(2007/07/31(Tue) 01:28:28)

次のとき、ｎの特徴づけを与えよ。
(1) が奇数のとき
(2) のとき
(3) がｎを割り切るとき
(4) ４が割り切るとき
(5) ある自然数ｋに対して、のとき
(6) のとき
(7) のとき
(8) ある自然数ｋに対して、がを割り切るとき

ちょっと多いですけど、お願いします！！

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■26959 / inTopicNo.2)

　Re[1]: オイラー関数

▲▼■

□投稿者/ r@PCLabo 一般人(6回)-(2007/08/01(Wed) 12:37:46)
http://blog.livedoor.jp/r_risd/

できる範囲でお答えします。書き方など分かりにくかったら、または間違っていたらごめんなさい。
オイラー関数は $2$n\prod$ (素因数-1)/(素因数)ですから

> (1) $2$\varphi (n)$ が奇数のとき
素因数をもつnについて考えると、(素因数-1)は全て奇数 ∴ $2$n=2^k$
このとき $2$\varphi (2^k) = 2^{k-1}$ ですから、k=1のみ。
またn=1のときこれをみたす。∴ $2$n=1,2$

> (2) $2$\varphi (n)=n-1$ のとき
自分以下の全ての自然数と互いに素 ∴ $2$n\in \mathrm P$ (素数)

> (5) ある自然数ｋに対して、 $2$\varphi (n)=2^k$ のとき
$2$2^k+1$ の形の素因数と2しか含まないが、前者は次数が1乗でないとこの素因数が関数値に残ってしまいます。
∴ $2$2^k+1$ の形の素数の高々1乗と2の積

> (6) $2$\varphi (n)=\frac{n}{2}$ のとき
$2$n=2^k$ の形は(1)で書いたようにすぐ分かります。
他の場合ですが、 $2$p_i\neq 2$ のとき $2$\prod_{i=0}^a \frac{p_i-1}{p_i}=\frac{1}{2}$ になるには素因数 $2$p_i$ の中に偶数が含まれていなければならないのでこれをみたしません。
∴ $2$n=2^k$

> (7) $2$\varphi (n)=\frac{n}{4}$ のとき
$2$\prod_{i=0}^a \frac{p_i-1}{p_i}=\frac{1}{4}$
これには素因数の中に偶数が2種類、もしくは4の倍数が必要ですので、解はありません。

他のも考えてみます。

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