 | ■No26202に返信(にゃ〜さんの記事)
> OA=a,OB=b,OC=cの四面体OABCがある。∠AOBの二等分線とAB、∠BOCの二等分線とBC、∠COAの二等分線とCAの交点をそれぞれP,Q,Rとし、四面体OABC、OPQRの体積をそれぞれV,Wとおくと不等式
> W/V≦1/4 が成り立つことを示せ。
角の二等分線の性質より、AP:PB=a:b, BQ:QC=b:c, CR:RA=c:a
面積△ABC=Sとおくと、△ARP=a/(a+b)・a/(c+a)・S, △BPQ=b/(a+b)・b/(b+c)・S, △CQR=c/(b+c)・c/(c+a)・S より
△PQR=△ABC-(△ARP+△BPQ+△CQR)
=2abc/{(a+b)(b+c)(c+a)}・S
≦2abc/{2√(ab)・2√(bc)・2√(ca)}・S = 1/4・S ←相加相乗平均。
四面体OABC、OPQRは高さ共通より
W/V=△PQR/△ABC≦1/4。
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