 | 平均値の定理より、任意の x > 0 に対して 0 < θ < 1 が存在して
x log{ x(e^(1/x) - 1) }
= x log{ (e^(1/x) - e^(0))/(1/x) }
= x log{ e^(θ/x) }
= θ
< 1
となります。また、テイラーの定理より 0 < φ < 1 が存在して
x log{ x(e^(1/x) - 1) }
= x log{ x(1 + 1/x + e^(φ/x)/(2x^2) - 1) }
= x log{ 1 + e^(φ/x)/(2x) }
> x log{ 1 + 1/(2x) }
= 1/2 log{ (1 + 1/(2x))^(2x) }
→ 1/2 log(e), (x → ∞)
= 1/2
となります。以上から、1/2 < x log{ x(e^(1/x) - 1) } < 1 がいえます。
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