 | y=a√(1+x)+√(a^2-x) (A)
より
y'=(a/2)/√(1+x)-(1/2)/√(a^2-x)
=[(1/2)/√{(1+x)(a^2-x)}]{a√(a^2-x)-√(1+x)}
=(1/2){(a^2-x)a^2-(1+x)}/[{√{(1+x)(a^2-x)}{a√(a^2-x)+√(1+x)}]
=(1/2){-(a^2+1)x+(a^4-1)}/[{√{(1+x)(a^2-x)}{a√(a^2-x)+√(1+x)}]
=-(1/2)(a^2+1){x-(a^2-1)}/[{√{(1+x)(a^2-x)}{a√(a^2-x)+√(1+x)}]
(A)の√の中に対する条件から
-1≦x≦a^2
となることと
-1≦a^2-1≦a^2
に注意して(A)の増減を考えると
(A)の最大値はx=a^2-1のときの値
(A)の最小値はx=-1,a^2のときの値の内の小さいほう
となります。
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