数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 素数の存在 / Page: 0]

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■26052 / inTopicNo.1)

　素数の存在

□投稿者/ Sweet 一般人(45回)-(2007/06/28(Thu) 08:51:55)

(1) (n>2)という形の素数は無数に存在するか。
(2) 4k+3という形の素数が無数に存在することを証明せよ。
(3) 4k+1という形の素数が無限個あることを証明せよ。

無限に存在することを証明するにはどうすればいいんでしょうか？
教えてください☆お願いします♪

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■26057 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 素数の存在

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□投稿者/ arithmetric偽名一般人(1回)-(2007/06/28(Thu) 11:53:14)

■No26052に返信(Sweetさんの記事)
> (2) 4k+3という形の素数が無数に存在することを証明せよ。
> (3) 4k+1という形の素数が無限個あることを証明せよ。
>

Dirichlet's theorem about primes in an arithmetic progression. の検索結果約 280,000 件

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■26058 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 素数の存在

▲▼■

□投稿者/ せら。一般人(2回)-(2007/06/28(Thu) 12:44:09)

■No26052に返信(Sweetさんの記事)
> (1) $2$n^2-1$ (n>2)という形の素数は無数に存在するか。
> (2) 4k+3という形の素数が無数に存在することを証明せよ。
> (3) 4k+1という形の素数が無限個あることを証明せよ。
>
> 無限に存在することを証明するにはどうすればいいんでしょうか？
> 教えてください☆お願いします♪

知識レベルがどこまでを仮定すればよいのかが不明なので、ざっくりとしたヒントしか出せませんが・・・
１）因数分解。
２）背理法。有限（ｎ個）しかないと仮定して、ｎ番目より大きな「4ｋ＋3」型素数が構成できることを示す。
３）２）と方針は同様。ただし、「ｎ番目より大きい４ｋ＋１型素数」の構成がやや工夫が必要（フェルマの小定理が絡む）。

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