 | 横から失礼いたします。
ウルトラマン さんの方法と同じですが、(高さ/2)を変数とした場合です。
球の中心から、球に内接する直円柱の底面の中心までの距離を h とすると(0＜h＜a)
球に内接する直円柱の高さ 2h
球に内接する直円柱の底面の半径の２乗 (a^2−h^2) … 三平方の定理より
以上から、球に内接する直円錐の体積 2h(a^2−h^2)π
f(h)＝2h(a^2−h^2)π＝{−2h^3＋2a^2h}π とおき、f(h)の増減を調べます。
f'(h)＝{−6h^2＋2a^2}π＝−2(√3h＋a)(√3h−a)π
(0＜h＜a)の範囲で、h＝(1/√3)a のとき、最大値をとることがわかるので、
半径aの球に内接する直円柱の体積を最大にするには、高さ(2h)を(2/√3)aにすればよい
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