 | > 関数f(x)が区間Ｉで上に凸ならば、この区間内の任意のx1,ｘ2,…ｘn と、
> p1+p2+…+pn=1 p1>0,p2>0,…pn>0
> である任意のp1,p2,…pnに対して次の不等式が成り立つことを、帰納法で示せ。
n=1,2のとき、明らかに成り立つ。
n=kのとき成り立つと仮定、n=k+1のとき
f( (p[1]x[1]+p[2]x[2]+…+p[k]x[k]+p[k+1]x[k+1])
=f( (p[1]x[1]+p[2]x[2]+…+p[k])y + p[k+1]x[k+1])
≧(p[1]x[1]+p[2]x[2]+…+p[k])f(y) + p[k+1]f(x[k+1])
[ p1x[1]+p2x[2]+…+p[k]x[k]=(p1+p2+…p[k])y=Ay, A=p[1]+p[2]+…p[k]とする。]
=Af((p1x[1]+p2x[2]+…+p[k]x[k])/A) + p[k+1]f(x[k+1])
≧p1f(x[1])+p2f(x[2])+…+p[k]f(x[n])+ p[k+1]f(x[k+1])
n=k+1のときも成り立つから全てのnについて成り立つ。
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