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■2601 / inTopicNo.1) 　指数問題で、有理数でないことを示すには
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□投稿者/ piko 一般人(1回)-(2005/08/04(Thu) 09:39:01)
    3^x＝５を満たすⅩは有理数でないことを示すのに

    まず背理法を用いて、Xが有理数と仮定すると
    ３＾X＝５＞１より、X＞０だから
    Ⅹ＝Ｍ/N(M,Nは正の整数)とおけて
    ３^M/N＝５　両辺をN乗して　３^M＝５^N

    よって、左辺は３の倍数、右辺は５の倍数より
    成り立つＭＮは存在しないとあるのですが

    初めから、ＭＮとおかなくても
    ３＾X＝５は見たとおり
    ３の倍数と、５の倍数だから
    成り立つ有理数Ｘは存在しないと思ったのですが
    なぜＭＮと置く必要があるのかわかりません。
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■2609 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 指数問題で、有理数でないことを示すには
□投稿者/ Kobanji 一般人(1回)-(2005/08/04(Thu) 17:50:59)
    お初です。どのような掲示板でも、初めて来る人が説明に回ることは少ないと思いますが（笑）、不肖ながら私めが。

    > 初めから、ＭＮとおかなくても
    > ３＾X＝５は見たとおり
    > ３の倍数と、５の倍数だから
    > 成り立つ有理数Ｘは存在しないと思ったのですが
    > なぜＭＮと置く必要があるのかわかりません。

    この問題は、言い換えるならば「log3_5（書き方これで合ってるのかな？初めてだから良く分からない）が無理数である事を証明せよ」と言い換えることが出来ます。
    これと似た問題に、「√２が無理数である事を証明せよ」と言う非常に有名な問題があります。有理数と言うのは、分数で表せるものだ、と言うのは周知の事かと思います。しかし、分数の中にも小数にすると、いずれも循環小数ではありますが、無限小数となるものがあります。つまり、ただ小数として見ているだけではそれが無理数であるのかそれともあまり見慣れない有理数であるのかは分からないのです。しかし、有理数を分数の形でおけばそれは別です。互いに素な分数（「そ」の字が間違っているかもしれませんが）と言う注釈をつけて分数でおく事で、その分子、分母が整数であることから、誰の眼にも明確に考える事ができるようになるのです。なんか先に行けば行くほど分かり難くなっている気もするので、最初の「問題の言い換え」の部分だけ良く考えてもらえれば、分からない事は無いだろうかと思います。では、Kobnanjiでした。失礼します。
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■2619 / inTopicNo.3) 　Re[2]: 指数問題で、有理数でないことを示すには
□投稿者/ Kobanji 一般人(6回)-(2005/08/04(Thu) 19:56:19)
    あ、ついでに言うと、ただ3^Xが3の倍数で、5は3の倍数で無いから、と言うのは絶対に成り立ちません。そりゃ、5にはなりませんが、3^(1/2)は3の倍数ですか？違いますよね。整数の倍数と言うのは、その整数で割り切れる整数をさすのです。Xが整数でなく有理数で定義されている限り、そのままでの倍数論は使えません。名ので、整数論が使える形にする為に分数を使うのです。

    なんかやっとまともに答えられた気がする；

    さらに付け足すと、「3^Nは3の倍数で5^Mは5の倍数だから」では少し違う気がします。3の倍数でありながら5の倍数である数は存在しうるので、「これらに共通素因数は存在しないので」あるいは「5^Mの因数に3は含まれないので」等が正しいかと思っております。

    長文駄文失礼いたしました。Kobanjiでした。では失礼します
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■2627 / inTopicNo.4) 　Re[3]: 指数問題で、有理数でないことを示すには
□投稿者/ piko 一般人(2回)-(2005/08/05(Fri) 09:58:12)
    Xがゼロ以上でも、X＝1/2のときは３の倍数になっていない、ことすら気づいていませんでした。
    あと、無限小数となるから有理数でない、と決めてはいけなかったんですね。
    はっきり有理数(MNの正の整数)であることを示して、それが成り立たたなくて
    はじめて有理数でないことを示せるんだなとわかりました。
    正確に答えられているかわかりませんが、こんな感じで理解しました。

    わかりやすいよう色々と考えていただいたようで、すごく勉強になりました。
    なんか賢い方の刺激を受けた、という感じです。
    最後の共通素因数のところは難易度が高そうですが、また考えていこうと思います。
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■2629 / inTopicNo.5) 　Re[4]: 指数問題で、有理数でないことを示すには
□投稿者/ Kobanji 一般人(7回)-(2005/08/05(Fri) 12:45:02)
    ぼんやりとでも分かってもらえたなら何よりです。
    僕も今年が現役なのではっきりとしたことはいえないのですが、この手の問題は難関大になってくると標準問題として出てくることが多々あるようです。と言う話をうちの数学教師から聞きました。
    僕が引き合いに出した「√2無理数の証明」は、分かりにくいですが、証明の懐を広くする為には完璧に理解していないといけない証明ですし、教科書にも載っているはずですので、先生に質問してしっかりと自分のものに出来るように頑張ってください。
    では、Kobanjiでした。解決済みをつけておきますね。失礼します。
解決済み!
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■2630 / inTopicNo.6) 　Re[5]: 指数問題で、有理数でないことを示すには
□投稿者/ Kobanji 一般人(8回)-(2005/08/05(Fri) 12:54:49)
    あ、まだ素因数の所で考えてるからつけちゃまずかったのかな？
    連投ｺﾞﾒ
    外しておきます。
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