 | y=x^3-x (A)
より
y'=3x^2-1
∴(A)上の点(t,t^3-t)における接線の方程式は
y=(3t^2-1)(x-t)+t^3-t
=(3t^2-1)x-2t^3
これが点P(X,Y)を通るとすると
Y=(3t^2-1)X-2t^3
∴2t^3-3Xt^2+X+Y=0 (B)
よって問題はtの３次方程式(B)が異なる３つの実数解を持つ条件を求めること
に帰着します。
そこで
f(t)=2t^3-3Xt^2+X+Y
と置くと
f'(t)=6t^2-6Xt=6t(t-X)
よってtの３次関数y=f(t)のグラフの形状を考えることにより、求める条件は
f(0)f(X)<0 (C)
X≠0 (D)
(C)より
(X+Y)(-X^3+X+Y)<0
∴(Y>-XかつY<X^3-X)又は(Y<-XかつY>X^3-X)
以上より求める領域の条件は
{(y>-xかつy<x^3-x)又は(y<-xかつy>x^3-x)}
かつ
x≠0
となります。
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