 | 各ベクトルを ↑AB = ↑b, ↑AC = ↑c, ↑AD = ↑d, ↑AE = ↑e と置きます。
点 E を中心とする、半径 |↑e| の球のベクトル方程式は
|↑p - ↑e| = |↑e|
⇒ ↑p・↑e = 1/2 |↑p|^2
ですが、条件 |↑b - ↑e| = |↑c - ↑e| = |↑d - ↑e| = |↑e| より
↑b・↑e = 1/2 |↑b|^2 ⇒ ↑b・↑e = 1/2
↑c・↑e = 1/2 |↑c|^2 ⇒ ↑c・↑e = 2
↑d・↑e = 1/2 |↑d|^2 ⇒ ↑d・↑e = 9/2
となります。いま、↑e = s ↑b + t ↑c + u ↑d と置き、上式に代入すると
s |↑b|^2 + t ↑b・↑c + u ↑b・↑d = 1/2
s ↑c・↑b + t |↑c|^2 + u ↑c・↑d = 2
s ↑d・↑b + t ↑d・↑c + u |↑d|^2 = 9/2
となります。これに |↑b|^2 = 1, ↑b・↑c = |↑b||↑c|cos60°= 1,
↑b・↑d = |↑b||↑d|cos90°= 0, |↑c|^2 = 4, ↑c・↑d = |↑c||↑d|cos60°= 3,
|↑d|^2 = 9 を代入すると、連立一次方程式
s + t = 1/2
s + 4t + 3u = 2
3t + 9u = 9/2
が得られ s = 1/2, t = 0, u = 1/2 となります。したがって ↑e = 1/2 ↑b + 1/2 ↑d
であり
|↑e|^2
= 1/4 (|↑b|^2 + 2 ↑b・↑d + |↑d|^2)
= 5/2
から AE = |↑e| = √(5/2) となります。
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