数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[5]: サイクロイドの問題 / Page: 0]

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■25984 / inTopicNo.1)

　サイクロイドの問題

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□投稿者/ さくらん一般人(3回)-(2007/06/26(Tue) 00:04:28)

サイクロイドの1周期とx軸とで囲まれた部分の面積を求めよ。
x=a(θ-sinθ), y=a(1-cosθ) ただし、a>0

どなたか分かる方、宜しくお願いします。

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■25993 / inTopicNo.2)

　Re[1]: サイクロイドの問題

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□投稿者/ ゼロ大御所(257回)-(2007/06/26(Tue) 09:31:31)

S=∫_{0～2π}∫_{0～r(θ)}rdrdθを計算します。
r(θ)=a√(2+θ^2-2θsinθ-2cosθ)

より、S=a/2∫_{0～2π}(2+θ^2-2θsinθ-2cosθ)dθ
あとはこれを計算します。

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■26009 / inTopicNo.3)

　Re[2]: サイクロイドの問題

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□投稿者/ さくらん一般人(4回)-(2007/06/26(Tue) 22:10:57)

S=∫_{0～2π}∫_{0～r(θ)}rdrdθとありますが、実際紙に書くときも、

S=∫_{0～2π}*∫_{0～r(θ)}rdrdθと書くのですか？

あと答えだけ先生がくれたのですが、S=∫_{0～2π}　y*(dx)/(dθ)*dθ=3πa^2
とあったのですが、S=a/2∫_{0～2π}(2+θ^2-2θsinθ-2cosθ)dθ
からうまく出せません・・・。
模範に解いていただけないでしょうか？

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■26016 / inTopicNo.4)

　Re[3]: サイクロイドの問題

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□投稿者/ さくらん一般人(5回)-(2007/06/27(Wed) 00:55:30)

どなたか分かる方いませんでしょうか・・・

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■26021 / inTopicNo.5)

　横レス

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□投稿者/ 白拓大御所(803回)-(2007/06/27(Wed) 06:06:20)

＞∫_{0～2π}∫_{0～r(θ)}rdrdθ
は曲座標で0～2πまで積分することになりますが、この問題では
x座標と y=a(1-cosθ)で囲まれた面積一周期分を求めることに
なりますから、これでは求められません。
先生のくれた解き方で出しましょう。

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■26024 / inTopicNo.6)

　Re[1]: サイクロイドの問題

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□投稿者/ ゼロ大御所(260回)-(2007/06/27(Wed) 08:43:43)

失礼しました。私のやり方は間違ってますね。白拓さんのおっしゃるように
先生のやり方で解いて下さい。

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■26025 / inTopicNo.7)

　Re[2]: サイクロイドの問題

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□投稿者/ 豆一般人(3回)-(2007/06/27(Wed) 09:33:16)

S=∫[x：0→2π]ydx=∫[θ：0→2π]y(dx/dθ)dθ　（積分変数の変換に注意）
=∫[θ：0→2π] a(1-cosθ)・a(1-cosθ)dθ
=a^2∫[θ：0→2π](1-2cosθ+(cosθ)^2)dθ
= a^2∫[θ：0→2π](1-2cosθ+(cos(2θ)+1)/2)dθ
= a^2∫[θ：0→2π](3/2-2cosθ+cos(2θ)/2)dθ
=a^2・(3/2)・2π=3πa^2

(cosの積分はsinで全部0)

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■26026 / inTopicNo.8)

　Re[3]: サイクロイドの問題

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□投稿者/ さくらん一般人(6回)-(2007/06/27(Wed) 11:06:07)

皆さん返信ありがとうございます。
豆さんのﾚｽ質問があるのですが、
S=∫[x：0→2π]ydx=∫[θ：0→2π]y(dx/dθ)dθ　のところで∫[θ：0→2π]とありますが、実際書くとき∫の上端を下端には[0→2π]と書けばいいのですよね？

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■26027 / inTopicNo.9)

　Re[4]: サイクロイドの問題

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□投稿者/ 豆一般人(4回)-(2007/06/27(Wed) 11:48:23)

質問の趣旨が良くわかりませんが・・・・
今回あえて積分範囲の[　]の中に積分変数を書き込んだのは
xもθも積分範囲が同じになるからですが、意味は違うよと言うことを
強調するために書きました（dx、dθと書いてある以上必要はありませんが）

ですから筆記体で書く時は
∫[x：0→2π]ydx　に関してはインテグラルの下端が0、上端が2πのみ書けばよい。

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■26042 / inTopicNo.10)

　Re[5]: サイクロイドの問題

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□投稿者/ さくらん一般人(7回)-(2007/06/27(Wed) 23:10:11)

すみません、打ち間違えしてました；
[]の中にxとθがあったので、それは書かないでただ上端と下端を書けばいいのか質問しました。

ありがとうございました。

解決済み!

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