 | (2)
点Aから直線BDに下ろした垂線の足をFとしてまず↑AFを↑AB,↑ACで表すことを考えます。
余弦定理より
BD^2=AB^2+AD^2-2AB・ADcos∠BAC
=AB^2+AD^2-2(AD/AC)↑AB・↑AC
=9+36-2・(6/2)・(9/2)=18
∴BD=√18=3√2
∴余弦定理より
cos∠ABD=(AB^2+BD^2-AD^2)/(2AB・BD)
=(4+18-36)/(2・2・√18)
=-7/(6√2)<0
従って90°<∠ABD<180°ですから、点Fは線分BDに対する外分点になります。
ここで
BF=ABcos∠ABF=ABcos(180°-∠ABD)
=-ABcos∠ABD
=7/(2√2)=(7/4)√2
よって点Fの線分BDに対する外分比は
DF:BF=(BF+BD):BF=19:7
ですから
↑AF=(-7↑AD+19↑AB)/(19-7)=(-7↑AD+19↑AB)/12 (A)
さらに点A,E,Fが同一直線上にあることより
↑AE=k↑AF (k:定数)(B)
とおくことができるので(A)を代入すると
↑AE=k(-7↑AD+19↑AB)/12
=k(-7(AC/AD)↑AC+19↑AB)/12
=k{(-7/3)↑AC+19↑AB}/12
=(19k/12)↑AB+(-7k/36)↑AC (C)
ところで点B,C,Eは同一直線上にありますから(C)より
19k/12+(-7k/36)=1
後はこれよりkを計算して(C)に代入します。
(3)
AE^2=|↑AE|^2
であることからまず|↑AE|^2を計算しましょう。((2)の結果を使います。)
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