 | まず、言葉の意味などは大丈夫でしょうか。
金融における本来の意味とは異なる部分もあるでしょうが、問題を解く上で便宜的に説明します。
元金…１番最初に用意するお金。
積み立て金…ある期間ごとに上乗せしていくお金。
年利率…１年ごとにつく利息。月ごとなら月利。
元利合計…元金と利息の合計。
複利…元利合計に利息をつける計算方法。
単利…元金のみに利息をつける計算方法。
最初は簡単な状況で考えて見ましょう。
例として「元金を１万円、月利を１０％、１月ごとの複利、積み立て金なしで１年後の元利合計」を考えて見ます。
１ヶ月後、元金に対して１０％の利息がつくので、
利息 円
元利合計は、元金と利息の合計なので、
元利合計 円
２ヶ月後は、この元利合計に対して利息がつくので、
利息 円
元利合計 円
３ヶ月後は、
利息 円
元利合計 円
となります。
元金を 、月利を とすれば、１月ごとに をかけているのと同じことになり、１２ヵ月後の元利合計は、^{12}) で求められます。
それでは、問題のほうを考えてみましょう。
ここでは、元金、および積み立て金を、年利をとして計算していきます。
１年後は例題と同様になるので、
元利合計) となります。
ただし、この問題では積み立て金があるので、
翌年は積み立て金を加えた+a_n) に利息がかかることになります。
すると２年後は
元利合計+a_n%5c}%5ctimes(r+i)=a_n%5ctimes(r+1)^2+a_n%5ctimes(r+1))
積み立て金を加えて^2+a_n%5ctimes(r+1)+a_n)
３年後
元利合計^2+a_n%5ctimes(r+1)+a_n}%5ctimes(r+i)=a_n%5ctimes(r+1)^3+a_n%5ctimes(r+1)^2+a_n%5ctimes(r+1))
積み立て金を加えて^3+a_n%5ctimes(r+1)^2+a_n%5ctimes(r+1)+a_n)
同様にして考えていくと
１０年後
元利合計^{10}+a_n%5ctimes(r+1)^9+%5ccdots+a_n%5ctimes(r+1)^2+a_n%5ctimes(r+1))
となります。１１年後はないので、積み立て金はここには加えません。これが最終的な金額になります。
これをまとめると
%5ctimes%5c{(r+1)^9+(r+1)^8+%5ccdots+(r+1)^2+(r+1)+1%5c})
となり、これを計算すれば答えが求められます。
あとは等比数列の和を利用してみましょう。
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