 | 平面 x + 2y + 3z - 1 = 0 の法線ベクトルは ↑n = (1, 2, 3) です(つまり、平面
に垂直なベクトルで x, y, z の各係数を成分に持ちます)。したがって、点
P: (-1, 3, 1) の対称点は Q = P + k ↑n と表現されます。いま、点 P, Q の中点
R = P + k/2 ↑n
= (-1 + k/2, 3 + k, 1 + 3/2 k)
は平面上にあり、方程式を満たします。すなわち
-1 + k/2 + 2(3 + k) + 3(1 + 3/2 k) - 1 = 0
⇒ 7k + 7 = 0
⇒ k = -1
であり、対称点 Q は (-1 + k, 3 + 2k, 1 + 3k) = (-2, 1, -2) となります。
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