数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 形状問題 / Page: 0]

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■25770 / inTopicNo.1)

　形状問題

□投稿者/ やまとも軍団(117回)-(2007/06/19(Tue) 00:18:35)

四角形ABCDの4つの角をA,B,C,Dで表すとき、sinA+sinB=sinC+sinDが成り立つならば、この四角形はどのような形か。

a/2R+b/2R=c/2R+d/2Rと変形したのですが・・・どうでしょうか？
どなたか解法を教えてください。お願いします。

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■25776 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 形状問題

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□投稿者/ ウルトラマン大御所(300回)-(2007/06/19(Tue) 02:22:28)

やまともさん，こんばんわ．
> 四角形ABCDの4つの角をA,B,C,Dで表すとき、sinA+sinB=sinC+sinDが成り立つならば、この四角形はどのような形か。
>
> a/2R+b/2R=c/2R+d/2Rと変形したのですが・・・どうでしょうか？
> どなたか解法を教えてください。お願いします。

正弦定理は，「三角形とその外接円の半径」の関係を表す定理なので，この場合は使えません．（※正弦定理の証明をもう一度，教科書を開いて確認してみてください）

本問の場合は，三角関数の和→積の公式を使って，四角形の「角度」に関する関係式を作って見ましょう．すると，
$2$ \sin A + \sin B = \sin C + \sin D \\ \Longleftrightarrow 2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2} = 2\sin \frac{C+D}{2}\cos \frac{C-D}{2} \\ \Longleftrightarrow \sin \frac{2\pi-(C+D)}{2}\cos \frac{A-B}{2} = \sin \frac{C+D}\cos \frac{C-D}{2} \\ \Longleftrightarrow \sin \frac{C+D}{2}\cos \frac{A-B}{2}=\sin \frac{C+D}{2}\cos \frac{C-D}{2} \\ \Longleftrightarrow \sin \frac{C+D}{2}\left(\cos \frac{A-B}{2}-\cos \frac{C-D}{2}\right)=0 \\ \Longleftrightarrow -2\sin \frac{C+D}{2}\sin \frac{A+C-B-D}{4}\sin \frac{A-B-C+D}{4}=0 \\ \Longleftrightarrow \sin \frac{C+D}{2}\sin \frac{2\pi-(B+D)-(B+D)}{4}\sin \frac{2\pi-(B+C)-(B+C)}{4}=0 \\ \Longleftrightarrow \sin \frac{C+D}{2}\sin \left(\frac{\pi}{2}-\frac{B+D}{2}\right)\sin \left(\frac{\pi}{2}-\frac{B+C}{2}\right)=0 \\ \Longleftrightarrow \sin \frac{C+D}{2}\cos \frac{B+D}{2}\cos \frac{B+C}{2}=0$
ここで，
$2$0<C+D<2\pi, 0<B+D<2\pi, 0<B+C<2\pi$ より，
$2$ 0<\frac{C+D}{2}<\pi, 0<\frac{B+D}{2}<\pi, 0<\frac{B+C}{2}<\pi$
であるから，
$2$ \frac{B+D}{2}=\frac{\pi}{2},\quad \frac{B+C}{2}=\frac{\pi}{2} \\ \Longleftrightarrow B+D=\pi,\quad B+C=\pi$
よって，四角形 $2$ABCD$ は，「円に内接する四角形」または「台形」……（答）
となるかと思います．

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■25831 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 形状問題

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□投稿者/ やまとも軍団(118回)-(2007/06/21(Thu) 21:11:45)

ウルトラマンさんありがとうございました。また困ったときはお願いします。

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