数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 集合の数学的帰納法の問題なんですが / Page: 0]

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■25719 / inTopicNo.1)

　集合の数学的帰納法の問題なんですが

□投稿者/ GF2 一般人(1回)-(2007/06/17(Sun) 16:09:54)

(A0∪A1∪A2∪･･･∪An)^c＝A0^c∩A1^c∩A2^c∩･･･∩An^c

(A0∩A1∩A2∩･･･∩An)^c＝A0^c∪A1^c∪A2^c∪･･･∪An^c
という2つの問題を数学的帰納法で証明するというものがわからないのですが
どなたか模範解答を示していただけないでしょうか？

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■25721 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 集合の数学的帰納法の問題なんですが

▲▼■

□投稿者/ Br 一般人(1回)-(2007/06/17(Sun) 16:51:35)

■No25719に返信(GF2さんの記事)
> 問題を数学的帰納法で証明する

かっこいいの検索結果約 17,100,000 件

((A0∪A1)∪A2)^c＝A0^c∩A1^c∩A2^c
　　　　　　と　かっこ　して。
3つのAj を　あたかも　２つであるが如く　偽装。

((A0∪A1∪A2∪･･･)∪An)^c

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■25723 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 集合の数学的帰納法の問題なんですが

▲▼■

□投稿者/ miyup 大御所(1238回)-(2007/06/17(Sun) 17:25:37)

2007/06/17(Sun) 17:27:27 編集(投稿者)

■No25719に返信(GF2さんの記事)
> (A0∪A1∪A2∪･･･∪An)^c＝A0^c∩A1^c∩A2^c∩･･･∩An^c　…①

i) (A0∪A1)^c＝A0^c∩A1^c は成り立つ(ド・モルガン)。
ii) n=k(≧1) において
(A0∪A1∪･･･∪Ak)^c＝A0^c∩A1^c∩･･･∩Ak^c が成り立つと仮定する。
このとき
(A0∪A1∪･･･∪Ak)^c∩A[k+1]^c＝A0^c∩A1^c∩･･･∩Ak^c∩A[k+1]^c
について
左辺＝{ (A0∪A1∪･･･∪Ak)∪A[k+1] }^c　(ド・モルガン)
　　　＝(A0∪A1∪･･･∪Ak∪A[k+1])^c
より
(A0∪A1∪･･･∪Ak∪A[k+1])^c＝A0^c∩A1^c∩･･･∩Ak^c∩A[k+1]^c
となり、n=k+1 でも成り立つ。

> (A0∩A1∩A2∩･･･∩An)^c＝A0^c∪A1^c∪A2^c∪･･･∪An^c
①利用
{A0^c∪A1^c∪A2^c∪･･･∪An^c}^c
＝(A0^c)^c∩(A1^c)^c∩(A2^c)^c∩･･･∩(An^c)^c
＝A0∩A1∩A2∩･･･∩An
よって
A0^c∪A1^c∪A2^c∪･･･∪An^c＝(A0∩A1∩A2∩･･･∩An)^c

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■25726 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 集合の数学的帰納法の問題なんですが

▲▼■

□投稿者/ GF2 一般人(2回)-(2007/06/17(Sun) 17:44:45)

2007/06/17(Sun) 19:58:11 編集(投稿者)
2007/06/17(Sun) 19:58:03 編集(投稿者)

お二人のおかげで理解できましたー
n=1のときにうまくいかなかったので悩んでたのが解決してすごくスッキリしました。
本当にありがとうござました。

解決済み!

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